Hessesche Normalform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hi.. sollen zuhause die Hessesche Normalform herleiten.
Ich weiß dass man mit dem Normalvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] als Maß für die Abstandberechnung nutzen kann. Dazu muss man ih aber nomieren . Nomiern heißt doch auf eine Einheitslänge bringen oder als hier 1? Dann ist also [mm] \overrightarrow{n_{o}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] . Der nominierte Vektor hat dann ja die Länge 1 und die Richtung von [mm] \overrightarrow{n}. [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zum Bild: Wir haben nun aufgeschrieben dass [mm] \overrightarrow{AP} \* \overrightarrow{n_{o}} [/mm] = ( [mm] \vec{AF} +\vec{FP}) \* \overrightarrow{n_{o}} [/mm] = [mm] \vec{AF} \* \overrightarrow{n_{o}} [/mm] + [mm] \vec{FP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{n_{o}} [/mm] = [mm] \vec{FP} [/mm] * [mm] \vec{n_{o}} [/mm]
Warum ist [mm] \overrightarrow{AP}= [/mm] ( [mm] \vec{AF} +\vec{FP}) [/mm] ?
und [mm] \vec{AF} \* \overrightarrow{n_{o}} [/mm] fällt doch weg, da das Skalarprodukt Null ist ( sie sind ja orthogonal)
Nun steht da als Aufgabe : Führen sie diese Überlegun weiter und leiten sie die Abstandberechung P von E her.
Also die Hessesche Normalform steht im Buch so:
Wenn man die Koordinatengleichung ax1+ bx2+ cx3 = d einer Ebene so ändert, dass der Normalvektor die Länge 1 hat spricht man von der Hesseschen Normalform.
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] ; [mm] \vec{n_{o}} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2} +b^{2} + c^{2}}}
[/mm]
also E: [mm] \bruch{ax1 + bx2 + cx3 -d }{\wurzel{a^{2} +b^{2} + c^{2}}} [/mm] = 0
[mm] \vec{n_{o}} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2} +b^{2} + c^{2}}} [/mm] ist ja so, da die Länge eines Vektors ja immer mit der Wurzel aus dem Quadraten der Koordinaten gemacht wird oder? aber ich verstehe nicht warum die Formel von E so ist? kann mir das vllt jemand erklären wie man drauf kommt oder mir einen anstoß geben .. vllt komme ich dann auf eine idee über die man dann hier sprechen kann
danke schonmal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Zum Bild: Wir haben nun aufgeschrieben dass
> [mm]\overrightarrow{AP}\*\overrightarrow{n_{o}}=(\vec{AF}+\vec{FP})\*\overrightarrow{n_{o}} =\vec{AF}\*\overrightarrow{n_{o}}+\vec{FP}*\overrightarrow{n_{o}}=\vec{FP}*\vec{n_{o}}[/mm]
> Warum ist [mm]\overrightarrow{AP}=(\vec{AF} +\vec{FP})[/mm] ?
Das ist simple vektorielle Addition: [mm] $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
[/mm]
> und [mm]\vec{AF} \* \overrightarrow{n_{o}}[/mm] fällt doch weg,
> da das Skalarprodukt Null ist ( sie sind ja orthogonal)
richtig
Ein Tipp am Rande: Es genügt am Anfang und am Ende einer Formel die [mm]'s zu setzten, du brauchst sie nicht nach jedem Vektor schreiben. 
Gruß miniscout
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Okay danke schonmal.. auf sowas simples kam ich nicht mehr^^
vllt kann mir ja jemand bei meinen anderen fragen helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 09.04.2008 | | Autor: | mimmimausi |
Kann mir keine helfen?.... man ich zerbrech mir den ganzen tag schon den Kopf darüber^^ und komm da net drauf^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mi 09.04.2008 | | Autor: | mimmimausi |
ich meinte natürlich ihr^^. und net mir^^.... ich würde gerne helfen haben das nämlich auch inner schule^^ aber bekomm das ja nte hin^^
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Zum Bild: Wir haben nun aufgeschrieben dass
> [mm]\overrightarrow{AP} \* \overrightarrow{n_{o}}[/mm] = (
> [mm]\vec{AF} +\vec{FP}) \* \overrightarrow{n_{o}}[/mm] = [mm]\vec{AF} \* \overrightarrow{n_{o}}[/mm]
> + [mm]\vec{FP}[/mm] * [mm]\overrightarrow{n_{o}}[/mm] = [mm]\vec{FP}[/mm] *
> [mm]\vec{n_{o}}[/mm]
> Warum ist [mm]\overrightarrow{AP}=[/mm] ( [mm]\vec{AF} +\vec{FP})[/mm] ?
> und [mm]\vec{AF} \* \overrightarrow{n_{o}}[/mm] fällt doch weg,
> da das Skalarprodukt Null ist ( sie sind ja orthogonal)
Hallo,
Nun hast Du also noch dastehen:
$ [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{n_{o}} [/mm] $ = = $ [mm] \vec{FP} [/mm] $ * $ [mm] \vec{n_{o}} [/mm] $ .
Nun denke übers Skalarprodukt von [mm] \vec{FP} [/mm] und [mm] \vec{n_{o}} [/mm] nach.
Das ist doch das Produkt aus der Länge von [mm] \vec{n_{o}} [/mm] (=1) und der (Länge der) Projektion von [mm] \vec{FP} [/mm] auf [mm] \vec{n_{o}}.
[/mm]
Nun guck' mal genau hin, was Du erhältst, wenn Du [mm] \vec{FP} [/mm] auf [mm] \vec{n_{o}} [/mm] (bzw. die entsprechende Gerade) projezierst.
Gruß v. Angela
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Bleibt da dann nur [mm] \overrightarrow{FP} [/mm] über da [mm] \vec{n_{o}} [/mm] ja eine ist ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ja, genau, es bleibt letztendlich nur noch [mm] \overrightarrow{FP} [/mm] stehen.
[mm] |\overrightarrow{FP}| [/mm] ist dann der (minimale) Abstand vom Punkt zur Ebene.
Lg
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ja dann hab ich da aber stehen [mm] \overrightarrow{AP} \*\vec{n_{o}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{FP} [/mm]
und wie geht es weiter
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Hallo jazz_mathe,
> ja dann hab ich da aber stehen [mm]\overrightarrow{AP} \*\vec{n_{o}}[/mm]
> = [mm]\overrightarrow{FP}[/mm]
Hier muss stehen:
[mm]\overrightarrow{AP} \*\overrightarrow{n_{o}} = \overrightarrow{FP} \* \overrightarrow{n_{0}}[/mm]
> und wie geht es weiter
>
Läßt sich [mm]\overrightarrow{FP}[/mm] noch anders ausdrücken?
Gruß
MathePower
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ich weiß nicht was du meinst... wie sich ds anderes ausdrücken lässt weiß ich nicht sorry... kannst du mir das vllt erklären?
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Hallo jazz_mathe,
> ich weiß nicht was du meinst... wie sich ds anderes
> ausdrücken lässt weiß ich nicht sorry... kannst du mir das
> vllt erklären?
Nun, der Vektor [mm]\overrightarrow{FP}[/mm] ist parallel zum Vektor [mm]\overrightarrow{n_{0}}[/mm] und ist von der Länge [mm]\vmat{d}[/mm]
Da [mm]\overrightarrow{n_{0}}[/mm] ein Vektor vom Betrag 1 ist, gilt
[mm]\vmat{\overrightarrow{FP}}=\vmat{d*\overrightarrow{n_{0}}}=\vmat{d}*\vmat{\overrightarrow{n_{0}}}=\vmat{d}[/mm]
Anders gesagt: [mm]\overrightarrow{FP}=d*\overrightarrow{n_{0}}[/mm]
Jetzt brauchst Du das nur in die Formel einzusetzen und bist dann fertig.
Gruß
MathePower
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und wie kommt man dann von dort aus auf die hessesche normalform, die ich in meiner anfangsfrage schonmal formuliert habe?
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Hallo jazz_mathe,
> und wie kommt man dann von dort aus auf die hessesche
> normalform, die ich in meiner anfangsfrage schonmal
> formuliert habe?
>
>
Es ist ja
[mm]\overrightarrow{AP} \* \overrightarrow{n_{0}}=\overrightarrow{FP} \* \overrightarrow{n_{0}}= d*\overrightarrow{n_{0}} \* \overrightarrow{n_{0}}=d[/mm]
Nun gilt: [mm]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}[/mm]
, wobei [mm]\overrightarrow{OP}, \ \overrightarrow{OA}[/mm] die Ortsvektoren zu den Punkten P bzw. A (Punkt der Ebene) sind.
Dann ergibt sich:
[mm]\overrightarrow{AP} \* \overrightarrow{n_{0}}=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right) \* \overrightarrow{n_{0}}[/mm]
Da für den Punkt auch jeder beliebige andere Punkt X eingesetzt werden kann, gilt:
[mm]\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right) \* \overrightarrow{n_{0}}[/mm]
Mit [mm]\overrightarrow{x}:=\overrightarrow{OX}, \ \overrightarrow{a}:=\overrightarrow{OA} [/mm] folgt:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\right) \* \overrightarrow{n_{0}}[/mm]
Dies ist die Hessesche Normalform der Ebene E.
Gruß
MathePower
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