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Hallo,
ich habe ein Skalarfeld auf lokale Extrema zu untersuchen und bin so weit, dass ich die Hessematrix aufstellen konnte:
[mm]
\begin{vmatrix}
2\alpha & \gamma^2 \\
\gamma^2 & 2\beta
\end{vmatrix}
[/mm]
Nun soll ich die Bedingungen herausfinden unter denen man es mit einem Maximum, Minimum, bzw. Sattelpunkt zu tun hat. Dazu muss ich die Matrix ja auf positive (bzw. negative) Definitheit untersuchen. Allerdings habe ich das Vorgehen dabei nicht wirklich verstanden. Kann das mir jemand noch mal gut an diesem Beispiel illustrieren?
Danke!
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Guten Tach.
$ [mm] \begin{vmatrix} 2\alpha & \gamma^2 \\ \gamma^2 & 2\beta \end{vmatrix} [/mm] $
Das ist ja eine Symetrische Matrix, denn [mm] A^{T} [/mm] = A. Jetzt gibt es verschiedene Kriterien für die positive Definitheit von Matrizen.
Das erste Kriterium sagt, dass eine symetrische Matrix positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv also echt größer 0 sind. Sie ist negativ definit wenn alle EW negativ <0 sind. Sie ist indefinit wenn es positive und negative EW gibt.
Wie lauten denn die EW(Eigenwerte) der oben angebenen Matrix. Wie berechnet man die EW. Du bekommst dann zwei EW raus. Dann musst du schauen wie du [mm] \alpha \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] wählen musst damit das entweder ein Minumum(Die matrix ist positiv definit) ein Maximum(die Matrix ist negativ definit) oder ein Sattelpunkt(einer positiv einer Negativ) vorliegt. Normalerweise musst du ja erst mal die kritischen Punkte ausrechnen (grad [mm] f(x_{0},y_{0}) [/mm] = 0.) und dann die Kritischen Punkte in deine HesseMatrix einsetzten.
So ist zum Beispiel
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }
[/mm]
indefinit weil ein EW >0 und ein EW <0.
Einen schönen Tach noch
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Tjaha,
schon mal danke so weit. Den kritischen Punkt habe ich schon ermittelt, das ist auch nicht mein Problem gewesen. Diese spezielle Matrix hängt ja nun auch praktischer Weise gar nicht mehr von den Variablen ab...
Die Eigenwerte der Matrix? Hmm, lineare Algebra haben wir erst im dritten Semester :)... daher bin ich jetzt leider etwas überfragt, was Eigenwerte genau sind. Also soweit ich weiß muss man die Matrix determinieren (hier also: [mm]4\alpha\beta -\gamma^4[/mm]) und dann keine Ahnung was damit machen... also wir haben das von unserem Prof und dem Übungsleiter jeweils unterschiedlich erklärt bekommen, so dass wir alle in der Vorlesung etwas verwirrt sind. Wärst du so freundlich mir das einfach mal an dem Beispiel zu zeigen?... ich hoffe dann kann ich das auch auf andere Beispiele übertragen.
Gruß
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Hallo,
bei 2x2-Matrizen (!) kannst Du das so machen:
- Ist die Determinante positiv und der linke obere Eintrag positiv, so hast Du ein lok. Minimum.
- Ist die Determinante positiv und der linke obere Eintrag negativ, so hast Du ein lok. Maximum.
- Ist die Determinante negativ, hast Du einen Sattelpunkt.
- Ist die Determinante =0, dann mußt Du andere Untersuchungen durchführen um herauszufinden, von welcher Art der kritische Punkt ist.
Gruß v. Angela
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