Hesseform + Bildgerade < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mi 04.01.2012 | | Autor: | del1r1um |
| Aufgabe 1 | Im R3 sind die folgenden Punkte gegeben:
[mm]A(-2\frac{1}{2}|4|-\frac{1}{2}), B(4\frac{1}{2}|-1|-3\frac{1}{2}), C(-1|3|-2\frac{1}{2})[/mm]
b) Wie lautet die Gleichung der Ebene E3 in Hesseform, die auf
E1: [mm]3x - y + 5z = -7[/mm]
und
E2 : [mm]-2x + 3y -3z = 5[/mm]
senkrecht steht und durch C geht. |
| Aufgabe 2 | | c) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen E1 und E2 . |
| Aufgabe 3 | d) In der x-y−Ebene ist die Gerade
[mm] \vec{x} = \begin{pmatrix} 5*\sqrt{3}\\3 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -2*\sqrt{3}\\1 \end{pmatrix} [/mm]
gegeben.
Diese Gerade soll um den Ursprung um −150° gedreht werden. Wie lautet die Drehmatrix D?
Wie lautet demnach die Abbildungsgleichung dieser Drehung in der Matrizenschreibweise?
Bestimmen Sie mit der ermittelten Abbildungsgleichung die Gleichung der Bildgeraden k' von k. |
Bei b) bin ich mir unsicher, was ich überhaupt machen soll. Ich habe dann nach googlen folgendes gemacht: [mm] <\vec{x}-C,\vec{n}> [/mm] = 0 <=> [mm] \uuline{<\vec{x}-(-1|3|-2\frac{1}{2}),(3|-1|5)> = 0}
[/mm]
Allerdings kommt mir die Rechnung ein wenig einfach vor. Habe ich die Aufgabenstellung nicht verstanden?
Bei c) und d) wüsste ich gerne, ob ich richtig gerechnet habe:
[mm] \cos\phi = \cos\frac{ \vec{v_{E_1}} * \vec{v_{E_2}} }{|\vec{v_{E_1}}| * |\vec{v_{E_2}}|}
= \cos\frac{-24}{ \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} * \sqrt{(-2)^2+3^2+(-3)^2} }
= \cos-0,865 = 0,999^{\circ} [/mm]
Bei d) habe ich den folgenden Lösungsweg genommen:
D= [mm] \begin{pmatrix}\cos-150 & -\sin-150 \\ \sin-150 & \cos-150\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \vec{x} [/mm] =
[mm] D*\begin{pmatrix} 5*\sqrt{3}\\3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] D*\begin{pmatrix} -2*\sqrt{3}\\1 \end{pmatrix} [/mm]
= [mm] \begin{pmatrix} 9\\-6,928 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 3,5\\0.866 \end{pmatrix}
[/mm]
Was eine Bildgerade ist, habe ich leider auch mit Google nicht herausgefunden. :-/
Vielen Dank im Voraus
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> Im R3 sind die folgenden Punkte gegeben:
> [mm]A(-2\frac{1}{2}|4|-\frac{1}{2}), B(4\frac{1}{2}|-1|-3\frac{1}{2}), C(-1|3|-2\frac{1}{2})[/mm]
>
> b) Wie lautet die Gleichung der Ebene E3 in Hesseform, die
> auf
> E1: [mm]3x - y + 5z = -7[/mm]
> und
> E2 : [mm]-2x + 3y -3z = 5[/mm]
> senkrecht steht und durch C geht.
>
> c) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen E1 und E2
> .
>
> d) In der x-y−Ebene ist die Gerade
> [mm]\vec{x} = \begin{pmatrix} 5*\sqrt{3}\\
3 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} -2*\sqrt{3}\\
1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> gegeben.
> Diese Gerade soll um den Ursprung um −150° gedreht
> werden. Wie lautet die Drehmatrix D?
> Wie lautet demnach die Abbildungsgleichung dieser Drehung
> in der Matrizenschreibweise?
> Bestimmen Sie mit der ermittelten Abbildungsgleichung die
> Gleichung der Bildgeraden k' von k.
>
> Bei b) bin ich mir unsicher, was ich überhaupt machen
> soll. Ich habe dann nach googlen folgendes gemacht:
> [mm]<\vec{x}-C,\vec{n}>[/mm] = 0 <=>
> [mm]\uuline{<\vec{x}-(-1|3|-2\frac{1}{2}),(3|-1|5)> = 0}[/mm]
>
> Allerdings kommt mir die Rechnung ein wenig einfach vor.
> Habe ich die Aufgabenstellung nicht verstanden?
Hallo,
mißverstehen kann man die Aufgabenstellung eigentlich nicht. Ich denke eher, daß Du sie nicht richtig beachtet hast.
Du hast die Gleichung einer Ebene aufgestellt, welche durch C geht und parallel zu [mm] E_1 [/mm] ist. Deine neue Ebene hat nämlich denselben Normalenvektor wie [mm] E_1.
[/mm]
Du aber sollst eine Ebene sagen [mm] E_3, [/mm] die sowohl zu [mm] E_1 [/mm] als auch zu [mm] E_2 [/mm] senkrecht ist.
Denk mal darüber nach, was dann mit dem Normalenvektor von [mm] E_3 [/mm] sein muß.
>
> Bei c) und d) wüsste ich gerne, ob ich richtig gerechnet
> habe:
> [mm]\cos\phi = \cos\frac{ \vec{v_{E_1}} * \vec{v_{E_2}} }{|\vec{v_{E_1}}| * |\vec{v_{E_2}}|} = \cos\frac{-24}{ \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} * \sqrt{(-2)^2+3^2+(-3)^2} } = \cos-0,865 = 0,999^{\circ}[/mm]
Mehrerlei:
die zu verwendende Formel heißt [mm] \cos\phi=\cos\frac{ \vec{v_{E_1}} * \vec{v_{E_2}} }{|\vec{v_{E_1}}| * |\vec{v_{E_2}}|}.
[/mm]
Du bekommst also (die -0.865 habe ich nicht kontrolliert) [mm] \cos\phi=-0.865 [/mm] und daraus dann mithilfe der Umkehrfunktion [mm] \phi=... [/mm]
Achte dabei darauf, daß Dein Taschenrechner richtig eingestellt ist, auf DEG, nicht etwa auf RAD, denn sonst bekommst Du das Ergebnis im Bogenmaß und nicht in Grad.
>
> Bei d) habe ich den folgenden Lösungsweg genommen:
> D= [mm]\begin{pmatrix}\cos-150 & -\sin-150 \\
\sin-150 & \cos-150\end{pmatrix}[/mm]
>
Deine Drehmatrix D ist im Prinzip richtig. Da muß aber stehen [mm] \cos(-150°) [/mm] usw.
Die Abbildungsgleichung der Drehung [mm] \delta_{-150°} [/mm] lautet dann: [mm] \delta_{-150°}(x)=Dx.
[/mm]
Die Bildgerade ist die Gerade, die man bekommt, indem man die gegebene Gerade wie angegeben dreht.
Du berechnest ihre Gleichung im Prinzip völlig richtig, allerdings traue ich den Zahlen, die Du bekommst, nicht.
Die rotmarkierte 9 scheint mir verkehrt zu sein, das andere scheint mir richtig zu sein.
Gruß v. Angela
> und
> [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]D*\begin{pmatrix} 5*\sqrt{3}\\
3 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]D*\begin{pmatrix} -2*\sqrt{3}\\
1 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \red{9}\\
-6,928 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} 3,5\\
0.866 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Was eine Bildgerade ist, habe ich leider auch mit Google
> nicht herausgefunden. :-/
> Vielen Dank im Voraus
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