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Hesse Matrix, 2.Richtungsabl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Do 17.04.2008
Autor: medion

Aufgabe
Berechne [mm] \bruch{\partial² f}{\partial h²}|_{p} [/mm] , die 2. Richtungsableitung von f im Punkt P in Richtung h!

f(x,y,z) = z² - x² + 2xy - y²

P = (1,0,1)    h = (2,1,0)

Hallo!

Weiß nicht, was ich als Nächstes tun muss:

grad f = [mm] \vektor{-2x + 2y \\ 2x - 2y \\ 2z} [/mm]

H f(x,y,z) = [mm] \pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm]

Die Werte von P eingesetzt (Matrix bleibt unverändert):

H [mm] f(x,y,z)|_{p} [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm]

So, und jetzt sind wir an meinem Problem angelangt: ich weiß zwar, dass der nächste Schritt so aussieht:

(2,1,0) * [mm] \pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm]

jedoch weiß ich nicht, wie man jetzt daraus ein Ergebnis bekommt.

Kann mir bitte jemand helfen?

mfg

        
Bezug
Hesse Matrix, 2.Richtungsabl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Do 17.04.2008
Autor: MathePower

Hallo medion,

> Berechne [mm]\bruch{\partial² f}{\partial h²}|_{p}[/mm] , die 2.
> Richtungsableitung von f im Punkt P in Richtung h!
>  
> f(x,y,z) = z² - x² + 2xy - y²
>  
> P = (1,0,1)    h = (2,1,0)
>  Hallo!
>  
> Weiß nicht, was ich als Nächstes tun muss:
>  
> grad f = [mm]\vektor{-2x + 2y \\ 2x - 2y \\ 2z}[/mm]
>  
> H f(x,y,z) = [mm]\pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>  
> Die Werte von P eingesetzt (Matrix bleibt unverändert):
>  
> H [mm]f(x,y,z)|_{p}[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>  
> So, und jetzt sind wir an meinem Problem angelangt: ich
> weiß zwar, dass der nächste Schritt so aussieht:
>  
> (2,1,0) * [mm]\pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm] *
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> jedoch weiß ich nicht, wie man jetzt daraus ein Ergebnis
> bekommt.
>  
> Kann mir bitte jemand helfen?

Das ganze ausmultiplizieren.

Entweder so:

[mm]\blue{\left(} (2,1,0) * \pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} \blue{\right)} * \vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]

oder so:

[mm] (2,1,0) * \blue{\left(}\pmat{ -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} * \vektor{2 \\ 1 \\ 0}\blue{\right)}[/mm]

Beides liefert dasselbe.

Wie Du das machst: Matrizenkalkül

>  
> mfg

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Hesse Matrix, 2.Richtungsabl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Do 17.04.2008
Autor: medion

Danke für Deine rasche Antwort!

Hab das jetzt ausmultipliziert: Ist es möglich, dass -2 rauskommt?

mfg

Bezug
                        
Bezug
Hesse Matrix, 2.Richtungsabl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Do 17.04.2008
Autor: MathePower

Hallo medion,

> Danke für Deine rasche Antwort!
>  
> Hab das jetzt ausmultipliziert: Ist es möglich, dass -2
> rauskommt?

Ja. [ok]

>  
> mfg

Gruß
MathePower

Bezug
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