Hesse Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Fr 24.07.2009 | | Autor: | wiggle |
| Aufgabe | Gegeben: eine [mm] $(2\times2)$ [/mm] Hesse Matrix
in der Form:
[mm] $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
-2 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{n}{2}\end{array}\right)$
[/mm]
Bestimme, ob es sich bei dem stationären Punkt um ein Maximum oder Minimum handelt!
Dabei ist [mm] $n\in\mathbb{R^+}
[/mm]
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Ok, ich habe schon in meinen (Wiwi) Mathe Büchern gekramt.
Das Problem ist, dass ich unbedingt an diesem Punkt, wo die Hesse Matrix so aussieht einen Maximumpunkt haben möchte (ein lokales Maximum reicht mir dabei)
Also muss die Matrix positiv definit sein!
Die erste Unterdeterminante ist $-2<0$, ok, das ist super!
Die zweite Determinante ist [mm] det(\mathbf{A})=\left(-2\cdot\left(\frac{1}{2}n\right)\right)-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-n-\frac{1}{4}$
[/mm]
Das ist niemals $>0$, so dass die Notwendige Bedingung nicht erfüllt ist!
So ein Käse...
Gibt es noch irgendeine Chance, dass ich zeigen kann, dass hier doch ein lok. Maximum vorliegt? Welche Infos brauche ich da für die Funktion?
Im Mathe für Wiwis (Sydsaeter, Hammond) steht, dass ein Sattelpunkt vorliegt, wenn bei [mm] $2\times2$ [/mm] Hesse Matrizen (Also bei Funktionen von 2 Veränderlichen) bei der Determinante der Gesamtmatrix ein ergebnis <0 herauskommt!
Ok, das ist nicht so dolle für mich , dann hätte die Funktion vielleicht ein Randoptimum in der 2. Veränderlichen (die deren doppelte Ableitung in der Matrix rechts unten steht); ist das korrekt?
Dann müsste ich also diese 2. Veränderliche gegen ihren maximal erlaubten Wert laufen lassen, und den Funktionswert an dieser Stelle betrachten;
Was meint Ihr ?
Danke für jegliche Hilfe !
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
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Hallo
> Gegeben: eine [mm](2\times2)[/mm] Hesse Matrix
> in der Form:
>
> [mm]$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
-2 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{n}{2}\end{array}\right)$[/mm]
>
> Bestimme, ob es sich bei dem stationären Punkt um ein
> Maximum oder Minimum handelt!
> Dabei ist [mm]$n\in\mathbb{R^+}[/mm]
>
> Ok, ich habe schon in meinen (Wiwi) Mathe Büchern
> gekramt.
> Das Problem ist, dass ich unbedingt an diesem Punkt, wo
> die Hesse Matrix so aussieht einen Maximumpunkt haben
> möchte (ein lokales Maximum reicht mir dabei)
> Also muss die Matrix positiv definit sein!
Nein, das ist falsch! Wenn die Hessematrix negativ definit ist, dann liegt ein lokales Maxiumum vor!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Sorry, habe einen Fehler gemacht!
Natürlich ist die notwendige Bedingung die der negativ Definitheit!
Sonst bleiben aber alle Fragen offen und von dem Flüchtigkeitsfehler unbeeinflusst!!!
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Hallo
Edit: Deine Matrix ist indefinit --> Sattelpunkt
- Hesse Matrix positiv definit: Minimum
- Hesse Matrix negativ definit: Maximum
- Hesse Matrix indefinit: Sattelpunkt
Welche Frage bleibt denn noch offen?
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Also noch mal langsam:
Eine Matrix [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] ist genau dann negativ definit, falls [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm] positiv definit ist!
Eine Matrix ist positiv definit, falls die Determinanten aller Teilmatrizen größer null sind
Also
[mm] $det(-\mathbf{A_{1}})=2$ [/mm] soweit so gut
Jetzt die Determinante von [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm]
[mm] $det(-\mathbf{A})=2\cdot\left(-\frac{n}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)^2=-n-\frac{1}{4}<0$ [/mm] , da $n>0$ per Definition
Meine Kenntnisse sagen mir, dass hier auf keinen Fall positive Definitheit von [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm] vorliegt, da die Determinante $<0$ ist!
Also ist [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] NICHT negativ definit !!!
Bedeutet das, dass [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] indefinit ist und damit ein Sattelpunkt vorliegt?
Habe ich dann gar keine Chance mehr, dass hier ein Maximum vorliegen könnte?
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> Also noch mal langsam:
> Eine Matrix [mm]\mathbf{A}[/mm] ist genau dann negativ definit,
> falls [mm]\mathbf{-A}[/mm] positiv definit ist!
Hallo,
ja.
> Eine Matrix ist positiv definit, falls die Determinanten
> aller Teilmatrizen größer null sind
Das stimmt für symmetrische Matrizen - mit denen Du es hier zu tun hast.
> Also ist [mm]\mathbf{A}[/mm] NICHT negativ definit !!!
Genau.
>
> Bedeutet das, dass [mm]\mathbf{A}[/mm] indefinit ist und damit ein
> Sattelpunkt vorliegt?
Ja. Es ist detA<0, und dies garantiert einem bei 2x2-Matrizen das Vorliegen eines Sattelpunktes.
> Habe ich dann gar keine Chance mehr, dass hier ein Maximum
> vorliegen könnte?
Nein, keinerlei Chancen - es sei denn, es handelt sich um eine Teilaufgabe, und Dir ist vorher was schiefgegangen.
Gruß v. Angela
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