Hesse, Abstand, Orthogonalität < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Gegeben sind die Punkte [mm] A=(1,0,2)^T, B=(1,1,-3)^T, C=(0,1,-2)^T, D=(0,-1,5)^T
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche A, B & C enthält. |
| Aufgabe 2 | | b) Welchen Abstand hat D zur Ebene E ? |
| Aufgabe 3 | | c) Bestimmen sie eine Gleichung der Geraden, die Senkrecht auf E steht und durch D geht. |
| Aufgabe 4 | | d) Bestimmen sie den Schnittpunkt dieser Geraden mit E (sogenannter Lotfußpunkt von D auf E). |
a) & b) habe ich lösen können. Zumindest glaube ich das ich richtig lösen konnte.
a)
Ortsvektor ist A
b = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
c = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4}
[/mm]
E: x = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] s\vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] + [mm] t\vektor{1 \\ -1 \\ 4}
[/mm]
Normalvektor: n = b x c
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 1}
[/mm]
E: (x - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}) [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 2} [/mm] = 0
Länge n: |n| = [mm] \wurzel{27}
[/mm]
Hesse-Normalform:
E: (x - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}) [/mm] * [mm] \vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}
[/mm]
b)
[mm] (|(\vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}) [/mm] * [mm] \vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}|)/1
[/mm]
[mm] =(|\vektor{-1 \\ -1 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}) [/mm] * [mm] \vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}|)/1
[/mm]
[mm] =|-1/\wurzel{27} [/mm] - [mm] 5/\wurzel{27} [/mm] + [mm] 1/\wurzel{27}|/1
[/mm]
[mm] =5/(3\wurzel{3})
[/mm]
bei c) habe ich habe ja schon den Normalvektor. Jedoch weiß ich nicht wie ich den Punkt D mit einbinde in die Geradengleichung.
zu d) bräucht ich mal einen kleinen Tipp was ich da zu machen habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Punkte [mm]A=(1,0,2)^T, B=(1,1,-3)^T, C=(0,1,-2)^T, D=(0,-1,5)^T[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche
> A, B & C enthält.
> b) Welchen Abstand hat D zur Ebene E ?
> c) Bestimmen sie eine Gleichung der Geraden, die Senkrecht
> auf E steht und durch D geht.
> d) Bestimmen sie den Schnittpunkt dieser Geraden mit E
> (sogenannter Lotfußpunkt von D auf E).
> a) & b) habe ich lösen können. Zumindest glaube ich das
> ich richtig lösen konnte.
>
> a)
> Ortsvektor ist A
> b = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -3}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm]
> c = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> E: x = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] +
> [mm]s\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] + [mm]t\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm]
>
> Normalvektor: n = b x c
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] x [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 5 \\ 1}[/mm]
>
> E: (x - [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2})[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 5 \\ 2}[/mm] = 0
>
> Länge n: |n| = [mm]\wurzel{27}[/mm]
>
> Hesse-Normalform:
> E: (x - [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2})[/mm] * [mm]\vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}[/mm]
>
> b)
> [mm](|(\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2})[/mm] *
> [mm]\vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}|)/1[/mm]
>
> [mm]=(|\vektor{-1 \\ -1 \\ 3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] -
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2})[/mm] * [mm]\vektor{1/\wurzel{27} \\ 5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}}|)/1[/mm]
>
> [mm]=|-1/\wurzel{27}[/mm] - [mm]5/\wurzel{27}[/mm] + [mm]1/\wurzel{27}|/1[/mm]
> [mm]=5/(3\wurzel{3})[/mm]
>
> bei c) habe ich habe ja schon den Normalvektor. Jedoch
> weiß ich nicht wie ich den Punkt D mit einbinde in die
> Geradengleichung.
Nimm D als Aufpunkt der gesuchten Gerade.
>
> zu d) bräucht ich mal einen kleinen Tipp was ich da zu
> machen habe.
Schau mal hier:
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/SchnittGeradeEbene.pdf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
sind meine Lösungen für a) & b) richtig ?
zu c)
Aufpunkt höre ich zum ersten mal.
Das einzige was mir zu dieser Aufgabe einfällt ist der der Normalvektor wohl der Richtungsvektor ist.
Ist D dann gleich der Ortsvektor ?
Also wäre die Gearde die folgende :
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] + [mm] t\vektor{1 \\ 5 \\ 1}
[/mm]
Das kommt mir jedoch irgendwie zu einfach vor.
Ist das richtig ?
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Hallo,
> Hi,
>
> sind meine Lösungen für a) & b) richtig ?
a) ist richtig, b) ist falsch. Da ist jedoch deine Rechnung völlig unverständlich, da du in der Klammer einen Skalar und einen Vektor subtrahierst.
> zu c)
> Aufpunkt höre ich zum ersten mal.
Das Ding hat viele Namen, Stützpunkt bzw. Stützvektor sind ebenfalls gebräuchlich.
> Das einzige was mir zu dieser Aufgabe einfällt ist der
> der Normalvektor wohl der Richtungsvektor ist.
>
> Ist D dann gleich der Ortsvektor ?
> Also wäre die Gearde die folgende :
>
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] + [mm]t\vektor{1 \\ 5 \\ 1}[/mm]
>
> Das kommt mir jedoch irgendwie zu einfach vor.
> Ist das richtig ?
Es ist vor allem eines: schlampig! Es ist nämlich keine Gleichung. Richtig wäre also
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\-1\\5}+t*\vektor{1\\5\\1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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