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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben sie die DGL y''+2xy'+2ny=0, n [mm] \in [/mm] IN
Zeige: Die Funktion [mm] H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}D^n{e^{-x^2}} [/mm] löst die DGL. Dabei ist [mm] D^n{f(x)}=f{(n)}(x).
[/mm]
Hinweis (ohne Beweis): [mm] H_{n+2}(x)=2xH_{n+1}(x)-2(n+1)H_n(x) [/mm] für n [mm] \in IN_0 [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht genau, was ich hier machen soll... Und vor allem wo ich den Hinweis brauche.
Es ist: [mm] H_0(x)=1
[/mm]
[mm] H_1(x)=2x
[/mm]
[mm] H_2(x)=4x^2-2
[/mm]
Und nun?
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Hallo Trikolon,
> Gegeben sie die DGL y''+2xy'+2ny=0, n [mm]\in[/mm] IN
Die DGL muss doch so lauten:
[mm]y''\blue{-}2xy'+2ny=0[/mm]
> Zeige: Die Funktion [mm]H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}D^n{e^{-x^2}}[/mm]
> löst die DGL. Dabei ist [mm]D^n{f(x)}=f{(n)}(x).[/mm]
> Hinweis (ohne Beweis):
> [mm]H_{n+2}(x)=2xH_{n+1}(x)-2(n+1)H_n(x)[/mm] für n [mm]\in IN_0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht genau, was ich hier machen soll... Und vor
> allem wo ich den Hinweis brauche.
>
> Es ist: [mm]H_0(x)=1[/mm]
> [mm]H_1(x)=2x[/mm]
> [mm]H_2(x)=4x^2-2[/mm]
>
> Und nun?
>
Jetzt ist zu zeigen,daß diese [mm]H_{i}\left(x\right)[/mm]
die obige DGL für n=i lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Also soll ich die 3 Terme von [mm] H_i [/mm] einsetzen und zeigen dass sie die DGL lösen? Und wozu der Hinweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Fr 13.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Erst einmal in Ruhe die Antwort lesen.
> Jetzt ist zu zeigen,daß diese $ [mm] H_{i}\left(x\right) [/mm] $ die obige DGL für n=i lösen.
Also fang an: Sei n = i = 0,
dann lautet die Differentialgleichung (schreib sie für diesen Fall hin) .....
Dann lautet [mm] $H_i$ [/mm] .....
Dann setzt Du dieses spezielle [mm] $H_i$ [/mm] in die Differentialgleichung ein und prüfst, ob es sie löst.
Zur Übung wiederholst Du das Ganze für n = i = 1 und für n = i = 2.
Dann hast DU ein wenig Erfahrung gesammelt und kannst Dich mit einem allgemeinen [mm] $H_i$ [/mm] versuchen. Ich habe es noch nicht gemacht, aber eine Idee, was so passieren könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Für n=i=0:
y''-2xy' =0 und [mm] H_0(x)=1 [/mm] löst die DGL.
Für n=i=1:
y''-2xy'+2y=0 und [mm] H_1(x)=2x [/mm] löst die DGL.
Was muss ich für den allgemeinen Beweis denn in die DGL einsetzen?
Brauche ich die n-te Ableitung von [mm] e^{-x^2}?
[/mm]
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Hallo Trikolon,
> Für n=i=0:
>
> y''-2xy' =0 und [mm]H_0(x)=1[/mm] löst die DGL.
>
> Für n=i=1:
>
> y''-2xy'+2y=0 und [mm]H_1(x)=2x[/mm] löst die DGL.
>
> Was muss ich für den allgemeinen Beweis denn in die DGL
> einsetzen?
>
Siehe hier.
> Brauche ich die n-te Ableitung von [mm]e^{-x^2}?[/mm]
Nein, die brauchst Du nicht.
Gruss
MathePower
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Hallo Trikolon,
> Also soll ich die 3 Terme von [mm]H_i[/mm] einsetzen und zeigen dass
> sie die DGL lösen? Und wozu der Hinweis?
Da allgemein zu zeigen ist, daß die Funktion [mm]H_{n}\left(x}\right)[/mm]
die DGL löst, wird zunächst eine Rekursionsformel für [mm]H_{n}'\left(x}\right)[/mm],
um dann [mm]H_{n}''\left(x}\right)[/mm] zu bilden. Hier ist dann der Hinweis einzusetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] H_n'=2nH_{n-1} [/mm] So? Und nun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Fr 13.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Das ist doch Deine Aufgabe. Du musst mal selbst etwas mehr machen, als nur schnell 21 Zeichen einzutippen und auf das nächste Häppchen zu warten. Ohne Versuche und dabei viele Fehlversuche gewinnst Du keine Übung und Sicherheit beim Lösen solcher Aufgaben. Hast Du [mm] $H_i$ [/mm] zweimal abgeleitet und geschaut, was passiert, wenn Du dies dann in die DGL einsetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Danke. Jetzt ist es klar.
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