Hermitesche und unitäre Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maranai |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ist A eine hermitesche Matrix, so ist exp(iA) unitär. |
Hallo,
ich weiß, dass eine Matrix hermitesch ist, wenn [mm] $A^{-T} = A$ [/mm] gilt.
Eine Matrix ist unitär, wenn [mm] $A^{-T} = A^{-1}$ [/mm] gilt.
Ausserdem weiß ich, dass [mm] $exp(M) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} M^n$ [/mm] gilt, wenn [mm] $M$ [/mm] eine Matrix ist.
Ich habe mir jetzt gedacht, wenn ich zeigen kann, dass [mm] $\overline{exp(iA)^T} * (exp(iA))^{-1} = I_{n}$ [/mm] gilt, so ist der Beweis erbracht.
(Es gilt ja, dass [mm] $A*B = I_n = B*A$ [/mm])
Leider bin ich nicht so gut im Beweisen...
Ich dachte mir, über die Summe heranzugehen, also einsetzen und schief draufgucken und hoffentlich was sehen.... aber dann habe ich mich gefragt, wie ich [mm] $\overline{exp(iA)^T}$ [/mm] auf eine Summe anwenden kann.... ???
Hoffentlich kann mir jemand mit Ideen und Ratschlägen helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist A eine hermitesche Matrix, so ist exp(iA) unitär.
> Hallo,
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> ich weiß, dass eine Matrix hermitesch ist, wenn [mm]$A^{-T} = A$[/mm]
> gilt.
> Eine Matrix ist unitär, wenn [mm]$A^{-T} = A^{-1}$[/mm] gilt.
> Ausserdem weiß ich, dass [mm]$exp(M) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} M^n$[/mm]
> gilt, wenn [mm]$M$[/mm] eine Matrix ist.
>
> Ich habe mir jetzt gedacht, wenn ich zeigen kann, dass
> [mm]$\overline{exp(iA)^T} * (exp(iA))^{-1} = I_{n}$[/mm] gilt, so
Du meinst eher, wenn [mm] $\overline{\exp(iA)^T} \cdot \exp(iA) [/mm] = [mm] I_n$ [/mm] gilt.
> ist der Beweis erbracht.
> (Es gilt ja, dass [mm]$A*B = I_n = B*A$ [/mm])
> Leider bin ich nicht
> so gut im Beweisen...
>
> Ich dachte mir, über die Summe heranzugehen, also einsetzen
> und schief draufgucken und hoffentlich was sehen.... aber
> dann habe ich mich gefragt, wie ich [mm]$\overline{exp(iA)^T}$[/mm]
> auf eine Summe anwenden kann.... ???
Nun, du weisst ja [mm] $\overline{A + B} [/mm] = [mm] \overline{A} [/mm] + [mm] \overline{B}$ [/mm] und $(A + [mm] B)^T [/mm] = [mm] A^T [/mm] + [mm] B^T$. [/mm] Also, kannst du jetzt sagen was [mm] $\overline{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (i A)^n}$ [/mm] ist?
Und dann brauchst du noch, dass [mm] $\exp(A) \exp(B) [/mm] = [mm] \exp(A [/mm] + B)$ ist wenn $A B = B A$ gilt.
(Alternativ kannst du auch unitaer diagonalisieren, dann folgt's direkt aus der Klassifizierung von hermitschen bzw. unitaeren Matrizen bzgl. unitaerer Diag'barkeit.)
LG Felix
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