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| Aufgabe | Sei V endlichdimensional, hermitescher Hilbertraum und A [mm] \in End_\mathbb{C}(V) [/mm] hermitesch.
Zeigen sie: Sei [mm] \lambda [/mm] in [mm] \mathbb{R} [/mm] der kleinste Eigenwert, dann gilt: <A(x),x> [mm] \geq \lambda [/mm] <x,x> für alle x [mm] \in [/mm] V.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt. |
Hallo liebe Vorhelfer,
ich habe mit dem obigen Beweis so meine Probleme. Mein erster Ansatz ist folgender.
Da A hermitesch ist, ist A insbesondere normal, d.h. es gibt eine Orthonormalbasis [mm] v_1,...,v_n [/mm] von V mit [mm] Av_i [/mm] = [mm] a_i v_i; [/mm] d.h. A ist diagonalisierbar mit den Eigenwerten [mm] a_i [/mm] (i = 1,...,n).
Weiterhin weiß ich, dass alle Eigenwerte reell sind, da A normal ist zudem ist <Av, v> [mm] \in \mathbb{R} [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.
Ich denke, der erste Schritt ist es nun, ein solches minimales [mm] \lambda [/mm] = [mm] a_j [/mm] zu bestimmen, wobei also gilt [mm] \lambda [/mm] = [mm] a_j [/mm] <= [mm] a_i \forall [/mm] i [mm] \neq [/mm] j.
Die Menge ist endlich aus der dieses minimale Element ausgewählt wird.
V ist ein Hilbertraum, d.h. bezüglich der Norm ||v|| = [mm] \sqrt{} [/mm] ist V vollständig.
Der Ansatz ist mir nun sehr "suspekt". Hier aber mal mein Gedanke.
Sei also [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] eine ONB die A diagonalisiert. Es ist x [mm] \in [/mm] V mit x = [mm] k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n.
[/mm]
Dann ist $<Ax,x> = < [mm] A(k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n), k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n> [/mm] = [mm] $
[/mm]
[mm] $= [/mm] $
$= <k1 [mm] a_1 v_1, k_1 v_1> [/mm] + < [mm] k_1 a_1 v_1, k_n v_n> [/mm] + ... + [mm] [/mm] + [mm] $
[/mm]
Aber ich habe das Gefühl genau da verheddere ich mich.
Ich muss ja auch <x , x> betrachten. Dazu ist:
<x, x> = [mm]
[/mm]
bevor ich mich jetzt weiter verpuzzele, kann mir jemand bei der Linearität helfen? Ich hab da Probleme beim herausziehen, weil es so viele Terme sind.
Bzw. meint ihr , mit dem Ansatz kann man arbeiten?
Vielen dank für die Hilfe!
Grüße und dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V endlichdimensional, hermitescher Hilbertraum und A
> [mm]\in End_\mathbb{C}(V)[/mm] hermitesch.
> Zeigen sie: Sei [mm]\lambda[/mm] in [mm]\mathbb{R}[/mm] der kleinste
> Eigenwert, dann gilt: <A(x),x> [mm]\geq \lambda[/mm] <x,x> für alle
> x [mm]\in[/mm] V.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet
> gestellt.
> Hallo liebe Vorhelfer,
>
> ich habe mit dem obigen Beweis so meine Probleme. Mein
> erster Ansatz ist folgender.
>
> Da A hermitesch ist, ist A insbesondere normal, d.h. es
> gibt eine Orthonormalbasis [mm]v_1,...,v_n[/mm] von V mit [mm]Av_i[/mm] = [mm]a_i v_i;[/mm]
> d.h. A ist diagonalisierbar mit den Eigenwerten [mm]a_i[/mm] (i =
> 1,...,n).
>
> Weiterhin weiß ich, dass alle Eigenwerte reell sind, da A
> normal ist zudem ist <Av, v> [mm]\in \mathbb{R}[/mm] für alle v [mm]\in[/mm]
> V.
>
> Ich denke, der erste Schritt ist es nun, ein solches
> minimales [mm]\lambda[/mm] = [mm]a_j[/mm] zu bestimmen, wobei also gilt
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]a_j[/mm] <= [mm]a_i \forall[/mm] i [mm]\neq[/mm] j.
>
> Die Menge ist endlich aus der dieses minimale Element
> ausgewählt wird.
>
> V ist ein Hilbertraum, d.h. bezüglich der Norm ||v|| =
> [mm]\sqrt{}[/mm] ist V vollständig.
>
> Der Ansatz ist mir nun sehr "suspekt". Hier aber mal mein
> Gedanke.
>
> Sei also [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_n[/mm] eine ONB die A diagonalisiert. Es
> ist x [mm]\in[/mm] V mit x = [mm]k_1 v_1[/mm] + ... + [mm]k_n v_n.[/mm]
>
> Dann ist [mm] = < A(k_1 v_1 + ... + k_n v_n), k_1 v_1 + ... + k_n v_n> = [/mm]
>
> [mm]=[/mm]
> [mm]= + < k_1 a_1 v_1, k_n v_n> + ... + + [/mm]
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> Aber ich habe das Gefühl genau da verheddere ich mich.
>
> Ich muss ja auch <x , x> betrachten. Dazu ist:
>
> <x, x> = [mm][/mm]
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> bevor ich mich jetzt weiter verpuzzele, kann mir jemand bei
> der Linearität helfen? Ich hab da Probleme beim
> herausziehen, weil es so viele Terme sind.
>
> Bzw. meint ihr , mit dem Ansatz kann man arbeiten?
Ja, du musst nur deine Summen vereinfachen.
Das die [mm] $v_i$ [/mm] eine ONB bilden, gilt [mm] $\left=0$ [/mm] für [mm] $i\not=j$ [/mm] und [mm] $\left=1$. [/mm] Damit fallen alle Terme mit unterschiedlichen [mm] $v_i$ [/mm] weg, und die anderen werden einfacher.
Übrigens kannst du der Einfachheit halber annehmen, dass die [mm] $a_i$ [/mm] der Größe nach geordnet sind, wenn nicht, musst du deine ONB nur umsortieren.
Viele Grüße
Rainer
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