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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 08.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Betrachten Sie die kubische Hermite-Interpolation zu den Bedingungen
f (0) = 1 , f (1) = 0 , f'(0) = 1 , f'(1) = 1 .
Geben Sie mit Hilfe des Schemas von NevilleAitken die Koeffizienten des
Interpolationspolynoms in der Newton-Basis an. |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nach dem ersten Neville-Aitken-Schritt einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen?
Ich bin bisher so weit:
[mm] D_{t_0}(f)=1
[/mm]
[mm] D_{t_1}(f)=1
[/mm]
[mm] D_{t_2}(f)=0
[/mm]
[mm] D_{t_3}(f)=0
[/mm]
So, der erste Schritt ist noch einfach:
[mm] D_{t_0 t_1}(f)=\bruch{1}{(1-0)!}*f^{1-0}(t_0)=f'(0)=1
[/mm]
[mm] D_{t_1 t_2}(f)=\bruch{D_{t_2}(f)-D_{t_0}(f)}{t_2-t_1}=\bruch{0-1}{1-0}=-1
[/mm]
[mm] D_{t_2 t_3}(f)=\bruch{1}{(3-2)!}*f^{3-2}(t_2)=f'(1)=1
[/mm]
So, ab hier hackt es. Ich muss ja folgende Differenzenquotienten berechnen:
[mm] D_{t_0 t_1 t_2}(f) [/mm] und [mm] D_{t_1 t_2 t_3}
[/mm]
Jetzt hab ich ja sowohl in [mm] {t_0 t_1 t_2} [/mm] als auch in [mm] {t_1 t_2 t_3} [/mm] ungleiche Knoten, also muss ich ja folgende Formel benutzen:
[mm] D_{t_0 ... t_n}(f)=\bruch{D_{t_0 ... t_{i-1} t_{i+1} ... t_n}(f)-D_{t_0 ... t_{j-1} t_{j+1} ... t_n}(f)}{t_j - t_i} [/mm] für [mm] t_i\not=t_j [/mm] wobei [mm] t_i,t_j\in{t_0 ... t_n}
[/mm]
So, jetzt weiß ich aber nicht, was bei mir jetzt i und was j ist.
In [mm] {t_0 t_1 t_2} [/mm] ist ja [mm] t_0=t_1\not=t_2, [/mm] dann ist ja jetzt irgendwie i=0,1 und j=2. Aber welchen Wert nehm ich nun für i? 0 oder 1?
Und genauso bei [mm] {t_1 t_2 t_3}. [/mm] Da ist ja [mm] t_1\not=t_2=t_3, [/mm] also müsste i ja 1 und j=2,3 sein. Und welchen Wert nehm ich nun für j? 2 oder 3?
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Di 08.07.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Pacapear!
> Betrachten Sie die kubische Hermite-Interpolation zu den
> Bedingungen
> f (0) = 1 , f (1) = 0 , f'(0) = 1 , f'(1) = 1 .
> Geben Sie mit Hilfe des Schemas von NevilleAitken die
> Koeffizienten des
> Interpolationspolynoms in der Newton-Basis an.
> Hallo!
>
>
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nach dem ersten
> Neville-Aitken-Schritt einfach nicht weiter. Vielleicht
> kann mir jemand helfen?
>
> Ich bin bisher so weit:
>
> [mm]D_{t_0}(f)=1[/mm]
>
> [mm]D_{t_1}(f)=1[/mm]
>
> [mm]D_{t_2}(f)=0[/mm]
>
> [mm]D_{t_3}(f)=0[/mm]
Mmh, bist du sicher? Bei den Werten oben hast du drei Einsen angegeben, hier nur zwei. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Diese ganzen Formeln waren immer so umständlich, und ich habe mir irgendwann einfach das Schema gemerkt (nachdem ich in der Übung einmal festgestellt hatte, dass das viel einfacher geht). Leider habe ich das längst wieder vergessen und auch kein Buch hier, aber falls du einen guten Link zu dem Neville-Aitken Schema hast, evtl. würde mir das dann wieder einfallen. Ich finde über google im Moment nur Sachen, die die Ableitung gar nicht betrachten.
Ach ja: wie war das: studierst du auch in Bonn? Bei wem hörst du denn dann gerade Vorlesung?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 08.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hi Bastiane!
> Mmh, bist du sicher? Bei den Werten oben hast du drei
> Einsen angegeben, hier nur zwei.
Also ich hab grad nochmal nachgeguckt, aber in der Aufgabenstellung stehen die drei Einsen. Aber beim Start des Neville-Aitken starte ich ja immer mit den Funktionswerten an den Stützstellen, und da beide Stützstellen jeweils doppelt auftreten hab ich ja dann auch zweimal den Funktionswert.
> Diese ganzen Formeln waren immer so umständlich, und ich
> habe mir irgendwann einfach das Schema gemerkt (nachdem ich
> in der Übung einmal festgestellt hatte, dass das viel
> einfacher geht). Leider habe ich das längst wieder
> vergessen und auch kein Buch hier, aber falls du einen
> guten Link zu dem Neville-Aitken Schema hast, evtl. würde
> mir das dann wieder einfallen. Ich finde über google im
> Moment nur Sachen, die die Ableitung gar nicht betrachten.
>
Ich verstehe diese Formeln auch überhaupt nicht. Vorallem die mit dem Streichungsding nicht. Wenn ich dann Knoten aus der Mitte streichen würde, würde mich das irgendwie auf ein D führen, was ioch garnicht berechnen kann :nixweiss:
> Ach ja: wie war das: studierst du auch in Bonn? Bei wem
> hörst du denn dann gerade Vorlesung?
Ja, studiere auch in Bonn, mehr oder weniger erfolgreich... Höre die Vorlesung bei Prof. Rumpf. Allerdings hält er sich nicht so wirklich ans PraMa II-Programm, was die ganze Sachen nicht viel leichter macht (von wegen alte Klausuren und so). Selbst unsere Tutoren haben Teile von dem was wir machen noch nie gesehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Pacapear!
> > Mmh, bist du sicher? Bei den Werten oben hast du drei
> > Einsen angegeben, hier nur zwei.
>
> Also ich hab grad nochmal nachgeguckt, aber in der
> Aufgabenstellung stehen die drei Einsen. Aber beim Start
> des Neville-Aitken starte ich ja immer mit den
> Funktionswerten an den Stützstellen, und da beide
> Stützstellen jeweils doppelt auftreten hab ich ja dann auch
> zweimal den Funktionswert.
Also, wenn du jede Stützstelle doppelt nimmst - ok. Aber warum sind die Ableitungen angegeben, wenn man sie nicht braucht? Und ich habe gerade nochmal gegoogelt und dabei diese Diskussion hier gefunden. Dort hat Karl eine Aufgabe per Hand gerechnet, und ich sehe nicht, dass er irgendwelche Stützstellen doppelt genommen hat. Bist du sicher, dass das Ganze bei euch nicht vielleicht irgendwie anders heißt? Hast du zufällig den Stoer? Damit hatte das bei mir damals ganz gut geklappt.
> > Ach ja: wie war das: studierst du auch in Bonn? Bei wem
> > hörst du denn dann gerade Vorlesung?
>
> Ja, studiere auch in Bonn, mehr oder weniger erfolgreich...
> Höre die Vorlesung bei Prof. Rumpf. Allerdings hält er sich
> nicht so wirklich ans PraMa II-Programm, was die ganze
> Sachen nicht viel leichter macht (von wegen alte Klausuren
> und so). Selbst unsere Tutoren haben Teile von dem was wir
> machen noch nie gesehen...
Den Prof kenne ich nicht, aber dass die Tutoren Sachen teilweise nicht kennen, kommt schon mal öfter vor.
Ach ja, und ist das richtig, dass diese Frage unbefristet ist?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Pacapear,
> Betrachten Sie die kubische Hermite-Interpolation zu den
> Bedingungen
> f (0) = 1 , f (1) = 0 , f'(0) = 1 , f'(1) = 1 .
> Geben Sie mit Hilfe des Schemas von NevilleAitken die
> Koeffizienten des
> Interpolationspolynoms in der Newton-Basis an.
> Hallo!
>
>
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nach dem ersten
> Neville-Aitken-Schritt einfach nicht weiter. Vielleicht
> kann mir jemand helfen?
>
> Ich bin bisher so weit:
>
> [mm]D_{t_0}(f)=1[/mm]
>
> [mm]D_{t_1}(f)=1[/mm]
>
> [mm]D_{t_2}(f)=0[/mm]
>
> [mm]D_{t_3}(f)=0[/mm]
>
>
>
> So, der erste Schritt ist noch einfach:
>
> [mm]D_{t_0 t_1}(f)=\bruch{1}{(1-0)!}*f^{1-0}(t_0)=f'(0)=1[/mm]
>
> [mm]D_{t_1 t_2}(f)=\bruch{D_{t_2}(f)-D_{t_0}(f)}{t_2-t_1}=\bruch{0-1}{1-0}=-1[/mm]
>
> [mm]D_{t_2 t_3}(f)=\bruch{1}{(3-2)!}*f^{3-2}(t_2)=f'(1)=1[/mm]
>
>
>
> So, ab hier hackt es. Ich muss ja folgende
> Differenzenquotienten berechnen:
>
> [mm]D_{t_0 t_1 t_2}(f)[/mm] und [mm]D_{t_1 t_2 t_3}[/mm]
>
> Jetzt hab ich ja sowohl in [mm]{t_0 t_1 t_2}[/mm] als auch in [mm]{t_1 t_2 t_3}[/mm]
> ungleiche Knoten, also muss ich ja folgende Formel
> benutzen:
>
> [mm]D_{t_0 ... t_n}(f)=\bruch{D_{t_0 ... t_{i-1} t_{i+1} ... t_n}(f)-D_{t_0 ... t_{j-1} t_{j+1} ... t_n}(f)}{t_j - t_i}[/mm]
> für [mm]t_i\not=t_j[/mm] wobei [mm]t_i,t_j\in{t_0 ... t_n}[/mm]
>
>
>
> So, jetzt weiß ich aber nicht, was bei mir jetzt i und was
> j ist.
>
> In [mm]{t_0 t_1 t_2}[/mm] ist ja [mm]t_0=t_1\not=t_2,[/mm] dann ist ja jetzt
> irgendwie i=0,1 und j=2. Aber welchen Wert nehm ich nun für
> i? 0 oder 1?
>
> Und genauso bei [mm]{t_1 t_2 t_3}.[/mm] Da ist ja [mm]t_1\not=t_2=t_3,[/mm]
> also müsste i ja 1 und j=2,3 sein. Und welchen Wert nehm
> ich nun für j? 2 oder 3?
>
Ich kenne nur diese Formel:
[mm]D_{t_{i}, \ ... \ , \ t_{i+k}}\left(f\right)=\bruch{D_{t_{i+1}, \ ... \ , \ t_{i+k}}\left(f\right)-D_{t_{i}, \ ... \ , \ t_{i+k-1}}\left(f\right)}{t_{i+k}-t_{i}}[/mm]
Demnach hast Du für j den Endknoten i+k und für i den Anfangsknoten zu nehmen.
Bei [mm]D_{t_{0}, \ t_{1} , \ t_{2}}\left(f\right)[/mm] ist j=2, i=0.
Bei [mm]D_{t_{1}, \ t_{2} , \ t_{3}}\left(f\right)[/mm] ist j=3, i=1.
>
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> LG, Nadine
Gruß
MathePower
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