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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Meine Aufgabe besteht darin die Hermite-Genocchi-Formel zu beweisen.
Diese lautet:
[mm][x_0,...,x_n]f = \int_1^{1}\int_0^{\tau_1}...\int_0^{\tau_{n-1}}f^{(n)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+...+(x_n-x_{n-1})\tau_n) d\tau_n...d\tau_1[/mm]
Den Beweis führe ich natürlich per Induktion.
Der Induktionsanfang war kein Problem.
Probleme gibt es beim Induktionsschritt von n nach n+1.
Diesen habe ich leider nicht hinbekommen.
Daher habe ich zunächst versucht, diese Formel für n=2 zu beweisen, um mir das zu verdeutlichen, so dass ich später sehen kann, worauf es im Induktionsschritt ankommt. Leider komme ich auch bei n=2 nicht zum Ziel.
Hier mein Weg:
[mm]\int_0^1\int_0^{\tau_1}f^{(2)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2)d\tau_2d\tau_1[/mm].
Nun führe ich eine Substitution druch:
[mm]z:=x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2[/mm].
Dann ist [mm]d\tau_2=\bruch{1}{x_2-x_1}dz[/mm] und die neuen Grenzen ergeben sich zu: [mm]x_0+(x_1-x_0)\tau_1[/mm] bzw. [mm] x_0+(x_2-x_0)\tau_1[/mm].
Man erhält:
[mm]\int_0^1\int_{x_0+(x_1-x_0)}^{x_0+(x_2-x_0)}f^{(2)}(z)\bruch{1}{x_2-x_1}d\tau_1[/mm]
=...
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - \int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1)d\tau_1)[/mm].
Nach Induktionsvoraussetzun ist doch nun [mm]\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1=[x_0,x_2]f[/mm] und [mm]\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1)d\tau_1=[x_0,x_1]f[/mm]. Also insgesamt:
[mm]\int_0^1\int_0^{\tau_1}f^{(2)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2)d\ta_2d\tau_1[/mm]=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})[/mm].
Das stimmt aber leider nicht mit [mm][x_1,x_1,x_2]f=\bruch{1}{x_2-x_0}(\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})[/mm]
Habe ich mich irgendwo verrechnet oder muss ich hier anders herangehen?
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> Also insgesamt:
>
> [mm]\int_0^1\int_0^{\tau_1}f^{(2)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2)d\ta_2d\tau_1[/mm]=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})[/mm].
> Das stimmt aber leider nicht mit
> [mm][x_1,x_1,x_2]f=\bruch{1}{x_2-x_0}(\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})[/mm]
Hallo wurzelpi,
Du hast Dich nicht verrechnet, nur zu früh mit dem Rechnen aufgehört:
[mm]\int_0^1\int_0^{\tau_1}f^{(2)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2)d\ta_2d\tau_1[/mm]
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x_{2}-x_{0}}(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{(x_1-x_0)(x_{2}-x_{1})}(x_{2}-x_{0}))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x_{2}-x_{0}}(\bruch{f(x_2)-f(x_{1})+f(x_{1})-f(x_0)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{(x_1-x_0)(x_{2}-x_{1})}(x_{2}-x_{0}))
[/mm]
und wenn Du nun weiterrechnest, kommst Du schnell auf Dein gewünschtes [mm] ...=\bruch{1}{x_2-x_0}(\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0})=[x_1,x_1,x_2]f.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Vielen Dank für Deine Antwort! Jetzt weiss ich zumindest, dass bislang alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") war.
Dennoch habe ich immer noch ein Problem.
Für den Fall n=2 konnten wir jetzt explizit nachrechnen, dass diese Behauptung erfüllt ist.
Aber die Induktionsvoraussetzung ist noch noch nicht zum tragen gekommen.
Da bin ich auch ein wenig überfragt.
Ich gehe dabei noch einmal in den Fall n=2:
[mm]\int_0^1\int_0^{\tau_1}f^{(2)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1+(x_2-x_1)\tau_2)d\tau_2d\tau_1[/mm]
=...
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - \int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1)d\tau_1) [/mm]
Hier müsste meiner Meinung nach die Ind.voraussetzung zum tragen kommen, aber nur für den rechten Term. Das hatte ich in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise nicht beachtet.
Also:
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - [x_0,x_1]f)[/mm]
Entweder stelle ich mich bei dieser Aufgabe recht dumm an, oder ich sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
Muss ich nun wieder auf das erste Integral eine Substitution wie oben oben anwenden und so lange umformen, bis ich ein zweites Mal meine Induktionsvoraussetzung anwenden kann? Oder geht das schneller?
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - [x_0,x_1]f)[/mm]
=...
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0} - [x_0,x_1]f)[/mm]
=[mm]\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} - \bruch{[x_0,x_1]f}{x_2-x_1}[/mm]
=[mm]\bruch{1}{x_2-x_0} *(\bruch{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_1} - \bruch{[x_0,x_1]f}{x_2-x_1}*(x_2-x_0))[/mm]
Wie soll das hier ohne explizites Ausrechnen gehen?
Und wie soll man das denn erst im allgemeinen Fall nachweisen?
Langsam nervt die Aufgabe! :-(
Ich hoffe, jemand kann mir da nochmal einen Tipp geben!
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> Hallo!
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> Vielen Dank für Deine Antwort! Jetzt weiss ich zumindest,
> dass bislang alles war.
> Dennoch habe ich immer noch ein Problem.
> Für den Fall n=2 konnten wir jetzt explizit nachrechnen,
> dass diese Behauptung erfüllt ist.
> Aber die Induktionsvoraussetzung ist noch noch nicht zum
> tragen gekommen.
Doch!
Hallo Wurzelpi und Kopf hoch:
lies Dir nochmal Deinen ersten Beitrag zu "Gnocchi" (lecker, lecker...) durch. In der 6.Zeile von unten schreibst Du selbst "nach Induktionsvoraussetzung". Und zwar verwendest Du sie für den rechten und linken Term.
Dann warst Du traurig, weil das Ergebnis nicht zu stimmen schien.
Ich tauchte auf um Dich zu retten. Stellte fest: das Ergebnis stimmt.
Das procedere für n=2 ist also durchgeführt bis zu letzten.
> =[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - \int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_1-x_0)\tau_1)d\tau_1)[/mm]
>
> Hier müsste meiner Meinung nach die Ind.voraussetzung zum
> tragen kommen, aber nur für den rechten Term. Das hatte ich
> in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise nicht beachtet.
> Also:
>
> =[mm]\bruch{1}{x_2-x_1}(\int_0^1f^{(1)}(x_0+(x_2-x_0)\tau_1)d\tau_1 - [x_0,x_1]f)[/mm]
>
>
> Muss ich nun wieder auf das erste Integral eine
> Substitution wie oben oben anwenden und so lange umformen,
> bis ich ein zweites Mal meine Induktionsvoraussetzung
> anwenden kann?
Wie gesagt, Du hattest sie bereits angewendet. Du hattest das Ergebnis für n=1 verwendet, welches sagt, daß Deine Aussage für zwei Stützstellen stimmt. Wie wir sie nennen, [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{1}, [/mm] R und S, Türklinke und Fensterrahmen oder eben [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] dürfte egal sein.
> Wie soll das hier ohne explizites Ausrechnen gehen?
Man muß wirklich nicht lange rechnen. Ich hatte es Dir ja eigentlich gezeigt.
Verstehst Du da rechentechnisch irgendwas nicht? (Es ist wirklich ohne Trick)
> Und wie soll man das denn erst im allgemeinen Fall
> nachweisen?
Damit habe ich mich bisher noch nicht beschäftigt, aber ich wäre optimistisch und würde denken: so ähnlich...
> Langsam nervt die Aufgabe! :-(
Das gibt's.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Angela!
So, bin fast durch mit dem allgemeinen Fall!
Es fehlt quasi nur noch ein kleiner Schritt:
Mit Ind.voraussetzung und Umformungen bin ich zu folgender Zeile gekommen:
=...
=[mm]\bruch{1}{x_{n+1}-x_0}(\bruch{[x_1,...,x_{n-1},x_{n+1}]f-[x_0,...,x_n]f}{x_{n+1}-x_n} - \bruch{[x_1,...,x_n]f-[x_0,...,x_{n-1}]f}{(x_{n+1}-x_n)*(x_n-x_0)} * (x_{n+1}-x_0))[/mm]
Dieses Zeile habe ich mühsam (mit Maple)  für n=2 ausgerechnet und ich erhalte das, was ich erhalten soll: JUHU!!!!
Kann man aus dieser Ziele "offensichtlich" sehen, dass das Ergebnis
[mm][x_0,...,x_{n+1}]f[/mm]
ist?
Oder gibt es noch Rechenregeln, die ich anwenden muss, so dass das klarer wird.
Ansonsten wäre die Induktion hier beendet.
Bitte um ein letztes Statement zu den Gnocchi´s! 
Vielen Dank für alles!
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> Mit Ind.voraussetzung und Umformungen bin ich zu folgender
> Zeile gekommen:
>
> =...
>
> =[mm]\bruch{1}{x_{n+1}-x_0}(\bruch{[x_1,...,x_{n-1},x_{n+1}]f-[x_0,...,x_n]f}{x_{n+1}-x_n} - \bruch{[x_1,...,x_n]f-[x_0,...,x_{n-1}]f}{(x_{n+1}-x_n)*(x_n-x_0)} * (x_{n+1}-x_0))[/mm]
>
>
> Kann man aus dieser Ziele "offensichtlich" sehen, dass das
> Ergebnis
> [mm][x_0,...,x_{n+1}]f[/mm]
> ist?
Hallo,
ob "man" da irgendwas offensichtlich sehen kann, weiß ich nicht. Ich sehe jedenfalls nichts einfach so.
Das Lästigste von allem Lästigen ist [mm] [x_1,...,x_{n-1},x_{n+1}]f.
[/mm]
Ich habe per Induktion gezeigt [mm] [x_1,...,x_{n-1},x_{n+1}]f=(x_{n+1}-x_{n})[x_1,...,x_{n},x_{n+1}]f+[x_1,...,x_{n}]f.
[/mm]
Leider hat's bisher mit dem Einsetzten und Ausrechnen nicht so geklappt. Vielleicht bist Du erfolgreicher...
Gruß v. Angela
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