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| Aufgabe | | EIne Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und den Punkt P(2/0), ist symmetrisch zur Y-Achse und schließt mit der X-Achse eine Fläche von 16 FE ein. Leiten Sie die Funktion her. |
Hallo,
also ich schreibe morgen meine Abi-Klausur in Mathe und mir ist heute aufgefallen das ich für diese Aufgabe keinen richtigen Ansatz finde.
Ich weiß, dass der allg. Term f(x) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c ist. Dann muss ich beide Punkte einsetzen jedoch weiß ich nicht wie ich die Bedingung mit der Fläche einbeziehen muss.
Kann mir da jemand helfen?
Gruß Wiesenbiber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> EIne Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und den
> Punkt P(2/0), ist symmetrisch zur Y-Achse und schließt mit
> der X-Achse eine Fläche von 16 FE ein. Leiten Sie die
> Funktion her.
> Hallo,
> also ich schreibe morgen meine Abi-Klausur in Mathe und
> mir ist heute aufgefallen das ich für diese Aufgabe keinen
> richtigen Ansatz finde.
>
> Ich weiß, dass der allg. Term f(x) = [mm]ax^4[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + c ist.
> Dann muss ich beide Punkte einsetzen jedoch weiß ich nicht
> wie ich die Bedingung mit der Fläche einbeziehen muss.
Die allgemeine Gleichung für ein Polynom vierten Grades ist
$f(x) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + cx² + dx+ e$!
"Symmetrie zur Y-Achse" heißt: $f(x) = f(-x)$ für alle x
"schließt mit der X-Achse eine Fläche von 16 FE ein":
1. Nullstellen berechnen: $f(x) = 0$ nach x umstellen
2. bestimmte(s) Integral(e) (mit den Nullstellen als Grenzen) von f(x) ergeben in der Summe 16. (am besten aufzeichnen)
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In einem Buch für das Mathe-Abi stand aber, dass man Funktionen, die syymetrisch zur Y-Achse sein sollen, mit dem oben genannten Term herleiten kann. Deswegen gelte auch: f(x)= [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c
Wie kann ich Nullstellen berechnen, wenn ich keine richtige Funktion habe? Kann das vielleicht mal vorgerechnet werden?
Gruß Wiesenbiber
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 12.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ja du hast recht! wenn die gesuchte funktion symmetrisch zur y-achse ist, also achsensymmetrisch ist , dann gilt f(x)=f(-x) für alle x, und x kommt nur in geraden potenzen vor:
du suchst also:
f(x)= [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c
weitere informationen:
eine Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und den
Punkt P(2/0), ist symmetrisch zur Y-Achse und schließt mit
der X-Achse eine Fläche von 16 FE ein. Leiten Sie die
Funktion her.
sie geht durch den ursprung => c=0.
sie geht durch P(2/0) =>
[mm] 0=a*2^4 [/mm] + [mm] b*2^2
[/mm]
0=16a +4b 1. Gleichung. Jetzt fehlt dir nur noch eine zweite Gleichung zur Bestimmung von a und b.
1. nullstelle ist der ursprung.
[mm] f(x)=ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm]
[mm] f(X)=x^2 [/mm] * [mm] (ax^2 [/mm] +b)
weitere nullstellen sind dort, wo der faktor [mm] ax^2 [/mm] +b =0 wird.
eine weitere nullstelle ist dir durch den punkt 2/0 gegeben.
ich gehe mal davon aus, dass das für die berechnung des integrals reicht.
[0;2]
[mm] \integral_{0}^{2}{(ax^4 +bx^2) dx}
[/mm]
jetzt stammfunktion bilden und grenzen einsetzen
[ [mm] \bruch{1}{5}ax^5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}bx^3] [/mm]
16 = F(2) - F(0)
16 = [mm] \bruch{1}{5}a*2^5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}b*2^3 [/mm] - 0
2. Gleichung.
kommst du jetzt weiter?
gruß
wolfgang
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Hallo Wolfgang,
Danke, das bringt mich ein ganzes Stück weiter. Ich wusste nicht, wie ich die Fläche zur Herleitung einbeziehen muss!
Vielen Dank! :)
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