Herleitung aus Vektorraumaxiom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tux87 |
| Aufgabe | Herleiten der folgenden Regel allein aus den Vektorraumaxiomen:
i) wenn u+w = v+w, dann gilt u = v
ii) s*0 = 0 und 0*v = 0
iii) -(sv) = (-s)v
wobei s ein Skalar und u,v,w je einen Vektor darstellt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
i) und ii) habe ich hergeleitet, bei iii) komme ich leider nicht weiter.
bisher habe ich:
(-s)*v = s*(-v) hergeleitet. nun möchte ich irgendwie zeigen, dass -(s*v) das inverse Element von (s*v) darstellt, also -(s*v) + (s*v) = 0 gilt.
hat jemand eine idee?
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> Herleiten der folgenden Regel allein aus den
> Vektorraumaxiomen:
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> i) wenn u+w = v+w, dann gilt u = v
> ii) s*0 = 0 und 0*v = 0
> iii) -(sv) = (-s)v
>
> wobei s ein Skalar und u,v,w je einen Vektor darstellt
>
> i) und ii) habe ich hergeleitet, bei iii) komme ich leider
> nicht weiter.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
-(sv)=(-s)v bedeutet ja in Worten, daß (-s)v das inverse Element von sv ist.
Jetzt mach mal folgendes:
berechne unter Anwendung der VR_Axiome (-s)v + sv. Was kommt da raus? Was kannst Du daraus schließen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 19.10.2008 | | Autor: | tux87 |
darf ich von den vektorraumaxiomen her einfach davon ausgehen, dass -(sv) das inverse element von sv ist?
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> darf ich von den vektorraumaxiomen her einfach davon
> ausgehen, dass -(sv) das inverse element von sv ist?
Hallo,
ja, das würd' ich schon sagen.
sv ist ja ein Vektor nach Def. der Multiplikation mit Skalaren, die Vektoren bilden mit der Addition eine Gruppe. Daher hat jeder Vektor ein Inverses bzgl. der Addition, und dieses wird üblicherweise mit "minus Vektor" bezeichnet.
Daß -(sv) dasselbe ist wie (-1)*(sv) ist schon wieder ein anderes Thema.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 19.10.2008 | | Autor: | tux87 |
reicht damit als begründung folgendes?
es gilt:
s*v + (-s)v
= (s + (-s))v (folgt aus VR-Ax2: v + (-v) = (-v) + v = 0)
= 0*v = 0 (folgt aus Aufgabenteil ii)
somitz ist (-s)v das inverse Element von sv:
sv + (-(sv)) = sv + (-s)v = 0
=> -(sv) = (-s)v (folgt aus Aufgabe i und der Abgeschlossenheit der VR-Axiome)
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> reicht damit als begründung folgendes?
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> es gilt:
> s*v + (-s)v
> = (s + (-s))v (folgt aus VR-Ax2: v + (-v) = (-v) + v =
> 0)
> = 0*v = 0 (folgt aus Aufgabenteil ii)
>
> somitz ist (-s)v das inverse Element von sv:
Hallo,
ja, genau so hatte ich mir das gedacht.
Das, was Du dann noch schreibst, brauchst Du nicht.
Gruß v. Angela
> sv + (-(sv)) = sv + (-s)v = 0
> => -(sv) = (-s)v (folgt aus Aufgabe i und der
> Abgeschlossenheit der VR-Axiome)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 So 19.10.2008 | | Autor: | tux87 |
Alles klar, ich danke dir!
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