Herleitung Rotationsoperator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 26.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nirgends im Web gibt es die Herleitung von [mm] Rot(\overrightarrow{v}) [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \times \vektor{v_{1}(x,y,z) \\ v_{2}(x,y,z) \\ v_{3}(x,y,z)} [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{\partial v_{3}}{\partial y} - \bruch{\partial v_{2}}{\partial z} \\ \bruch{\partial v_{1}}{\partial z} - \bruch{\partial v_{3}}{\partial x} \\ \bruch{\partial v_{2}}{\partial x} - \bruch{\partial v_{1}}{\partial y}}
[/mm]
Niergends! Wäre gut wenn das aber irgendwo für andere stehen würde wie man den Rotationsoperator herleitet. Deshalb versuch ichs nun über den Satz von Navier Stokes - leider komm ich nicht mehr weiter oder bin auf dem Falschen weg. Mein bisheriges:
Satz von Stokes:
[mm] \integral_{geschlossene Kurve}^{}{\overrightarrow{v} * \overrightarrow{ds}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} \integral_{}^{}{\overrightarrow{n}*rot(\overrightarrow{v})*dS}
[/mm]
Jetzt mache ich einen Grenzwertprozess indem ich ein infinitesimales kleines Quadrat anstelle des Umlaufintegrales schreibe und dort entlang gehe (für eine Richtung d.h. [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0})
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}* \vektor{0 \\ v_{2}(x,y,z) \\ v_{3}(x,y,z)} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y+dy,z) \\ v_{3}(x,y+dy,z)} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y+dy,z+dz) \\ v_{3}(x,y+dy,z+dz)} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y,z+dy) \\ v_{3}(x,y,z+dy)} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v_{3}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z} [/mm]
Fehlt vielleicht im Linken Term noch ein dS? Es ist zwar kein Integral mehr, aber ein(!) dS gehört ja noch dazu? Ich komme dann auf was anderes, aber auch nicht viel weiter...
dS wäre doch gleich der Fläche des infinitesimalen Quadrates, was gleich dy*dz ist?
Geht aber nicht auf: (
Gruss&Dank
EDIT: Habe anfänglich das rot(...) im Satz von Navier Stokes vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 26.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich tue es besser noch etwas einfacher für euch hinschreiben, dass ihr das Problem erkennt:
... = [mm] v_{2}(x,y,z) [/mm] - [mm] v_{2}(x,y+dy,z+dz) [/mm] + [mm] v_{3}(x,y+dy,z) [/mm] - [mm] v_{3}(x,y,z [/mm] + dz) = [mm] (\bruch{\partial v_{3}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z})*dS [/mm] = [mm] (\bruch{\partial v_{3}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z})*dz*dy
[/mm]
->
[mm] \bruch{v_{2}(x,y,z) - v_{2}(x,y+dy,z+dz) + v_{3}(x,y+dy,z) - v_{3}(x,y,z + dz)}{dz*dy} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v_{3}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z}
[/mm]
Leider haut es ersichlicherweise nicht ganz hin mit den Ableitungen. Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Leute,
Ich habe (so denke ich) nochmals einen Fehler gefunden: Er steckt in den vier [mm] \overrightarrow{ds} [/mm] dieses kleinen Quadrates. Ich habe dessen Länge als 1 angenommen. Aber es sind doch keine Richtungsvektoren, sondern Richtungsvektoren inkl. Länge. Die Längen wären dann dz oder dy.
So folgt nämlich:
... = Richtiges Ergebnis = [mm] \bruch{dy*v_{2}(x,y,z) - dy*v_{2}(x,y+dy,z+dz) + dz*v_{3}(x,y+dy,z) - dz*v_{3}(x,y,z + dz)}{dz\cdot{}dy} [/mm] = [mm] \bruch{v_{2}(x,y,z) - v_{2}(x,y+dy,z+dz) }{dz} [/mm] + [mm] \bruch{ v_{3}(x,y+dy,z) - v_{3}(x,y,z + dz)}{dy} [/mm] = (?!) [mm] \bruch{\partial v_{3}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z}
[/mm]
Jetzt noch ein Problem: Ist [mm] \bruch{v_{2}(x,y,z) - v_{2}(x,y+dy,z+dz) }{dz} [/mm] das gleiche wie (- [mm] \bruch{\partial v_{2}}{\partial z}) [/mm] ? Das nichttriviale ist ja das y+dy das noch vorkommt. Kann man das vernachlässigen weil ja nicht durch dy geteilt wird?
Gruss
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Hi,
ich verstehe dein Problem noch nicht so ganz... Möchtest du das erste oder das zweite Gleichheitszeichen erklärt bekommen?
Wenn du das zweite Gleichheitszeichen meinst, informier dich mal über das Kreuzprodukt, damit sollte das erledigt sein.
Wenn du das erste Gleichheitszeichen meinst, überleg die mal was ein Rotationsvektor eigentlich anschaulich darstellen soll.
Liebe Grüße,
Ned
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Mo 27.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Nirgends im Web gibt es die Herleitung von
> [mm]Rot(\overrightarrow{v})[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \times \vektor{v_{1}(x,y,z) \\ v_{2}(x,y,z) \\ v_{3}(x,y,z)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ \bruch{\partial v_{3}}{\partial y} - \bruch{\partial v_{2}}{\partial z} \\ \bruch{\partial v_{1}}{\partial z} - \bruch{\partial v_{3}}{\partial x} \\ \bruch{\partial v_{2}}{\partial x} - \bruch{\partial v_{1}}{\partial y}}[/mm]
Merkwürdig ......
Obiges ist doch die Definition von "Rotation" !
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_(Mathematik)
FRED
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> Niergends! Wäre gut wenn das aber irgendwo für andere
> stehen würde wie man den Rotationsoperator herleitet.
> Deshalb versuch ichs nun über den Satz von Navier Stokes -
> leider komm ich nicht mehr weiter oder bin auf dem Falschen
> weg. Mein bisheriges:
> Satz von Stokes:
> [mm]\integral_{geschlossene Kurve}^{}{\overrightarrow{v} * \overrightarrow{ds}}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{} \integral_{}^{}{\overrightarrow{n}*rot(\overrightarrow{v})*dS}[/mm]
>
> Jetzt mache ich einen Grenzwertprozess indem ich ein
> infinitesimales kleines Quadrat anstelle des
> Umlaufintegrales schreibe und dort entlang gehe (für eine
> Richtung d.h. [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0})[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}* \vektor{0 \\ v_{2}(x,y,z) \\ v_{3}(x,y,z)}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y+dy,z) \\ v_{3}(x,y+dy,z)}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y+dy,z+dz) \\ v_{3}(x,y+dy,z+dz)}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -1}*\vektor{0 \\ v_{2}(x,y,z+dy) \\ v_{3}(x,y,z+dy)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial v_{3}}{\partial y}[/mm] - [mm]\bruch{\partial v_{2}}{\partial z}[/mm]
>
> Fehlt vielleicht im Linken Term noch ein dS? Es ist zwar
> kein Integral mehr, aber ein(!) dS gehört ja noch dazu?
> Ich komme dann auf was anderes, aber auch nicht viel
> weiter...
> dS wäre doch gleich der Fläche des infinitesimalen
> Quadrates, was gleich dy*dz ist?
>
> Geht aber nicht auf: (
>
> Gruss&Dank
>
> EDIT: Habe anfänglich das rot(...) im Satz von Navier
> Stokes vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja das erste Gleichheitszeichen. Ich will aus dem Satz von Stokes zeigen, dass die Rotation so definiert ist wie sie definiert ist.
Lieber Fred, was soll ich mit dem Wikipediaartikel? Dort steht kein WIESO.
Wie sieht es nun aus, habe ich das richtig aus dem Satz von Stockes gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Mo 27.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja das erste Gleichheitszeichen.
Das 2. "=" ist die Def. des Kreuzproduktes !
FRED
> Ich will aus dem Satz von
> Stokes zeigen, dass die Rotation so definiert ist wie sie
> definiert ist.
> Lieber Fred, was soll ich mit dem Wikipediaartikel? Dort
> steht kein WIESO.
>
> Wie sieht es nun aus, habe ich das richtig aus dem Satz von
> Stockes gemacht?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke sehr! Das wollte ich wissen. Genau das! Ja das hab ich noch nicht gewusst. Deshalb hab ich jetzt hier gefragt damit mir jemand sagt, dass das das Vektorprodukt ist............................................
Alles was ich noch wissen will:
Ist [mm] \limes_{dz \rightarrow 0, dy \rightarrow 0} \bruch{v_{2}(x,y,z) - v_{2}(x,y+dy,z+dz) }{dz} [/mm] = [mm] \bruch{-\partial v_{2}}{\partial dz}
[/mm]
Ja oder nein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 27.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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