Herleit. u. Anw d. Vektorraums < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss im Rahmen einer Zwangs Gfs meiner Klasse den Vektorraum näher bringen um meine 13.1 Note zu retten. In meinem Buch (Lamenbacher Schweiszer Analytische Geometrie mit linearer Algebra LK Seite 55) ist Folgendes definiert :´
Definition: Eine nicht leere Menge V nennt man einen Vektorraum und ihre Elemente Vektoren , wenn
1. es eine Addition gibt, die Elemente [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec [/mm] b [mm] \in [/mm] V jeweils genau ein Element [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec [/mm] b V zuordnet und hierbei gilt:
1.1 Es gibt ein Nullelement [mm] \vec{0} \in [/mm] V mit [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec [/mm] 0 = [mm] \vec{a} [/mm]
1.2Zu jedem [mm] \vec{a} [/mm] gibt es ein Gegenelement [mm] -\vec{a} [/mm]
1.3 Es gilt das Assoziativ Gesetzt
1.4 Es gilt das Kommutativgesetz
2. es eine Multiplikation gibt , die jeweils einer reellen Zahl r und einem Element [mm] \vec{a} \in [/mm] V genau ein Element r [mm] \* \vec{a} \in [/mm] V ´zuordnet und hierbei gilt:
2.1Für alle r [mm] \in \IR [/mm] , [mm] \vec{a} \vec [/mm] b [mm] \in [/mm] V gilt : r [mm] \* (\vec{a} [/mm] + [mm] \vec [/mm] b ) = r [mm] \* \vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] b
2.2 Es gilt das Assotiativ gesetzt
2.3 Für alle [mm] \vec [/mm] a gilt : 1* [mm] \vec [/mm] a = [mm] \vec [/mm] a
Das sind die Regeln die ich habe. Ich verstehe sie auch einigermaßen , jedoch habe ich Probleme bei der Anwendung z.b. bei Folgender Aufgabe.
Ebenfalls verstehe ich nicht die SChreibweise, die die Aufgabe hat.
AFG: Überprüfen sie, ob die M;enge V zusammen mit der für den Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] definierten Addition und Multiplikation ein Vektorraum ist
a) V= [mm] \{ (a) |a \in \IR \}
[/mm]
(0)
(0)
Wäre nett wenn mit jmd den Lösungsweg erklärt, denn ich komme nicht einmal auf einen Ansatz, denn die Form ist mir völlig Fremd
Danke
rigolator
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rigolator!
Also erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich muss im Rahmen einer Zwangs Gfs meiner Klasse den
> Vektorraum näher bringen um meine 13.1 Note zu retten. In
> meinem Buch (Lamenbacher Schweiszer Analytische Geometrie
> mit linearer Algebra LK Seite 55) ist Folgendes definiert
> :´
Heißt das Buch nicht "Lambacher Schweizer"? Der Name kommt mir irgendwie bekannt vor! 
> Definition: Eine nicht leere Menge V nennt man einen
> Vektorraum und ihre Elemente Vektoren , wenn
> 1. es eine Addition gibt, die Elemente [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec[/mm] b
> [mm]\in[/mm] V jeweils genau ein Element [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec[/mm] b V
> zuordnet und hierbei gilt:
> 1.1 Es gibt ein Nullelement [mm]\vec{0} \in[/mm] V mit
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec[/mm] 0 = [mm]\vec{a}[/mm]
> 1.2Zu jedem [mm]\vec{a}[/mm] gibt es ein Gegenelement [mm]-\vec{a}[/mm]
> 1.3 Es gilt das Assoziativ Gesetzt
> 1.4 Es gilt das Kommutativgesetz
> 2. es eine Multiplikation gibt , die jeweils einer reellen
> Zahl r und einem Element [mm]\vec{a} \in[/mm] V genau ein Element
> r [mm]\* \vec{a} \in[/mm] V ´zuordnet und hierbei gilt:
> 2.1Für alle r [mm]\in \IR[/mm] , [mm]\vec{a} \vec[/mm] b [mm]\in[/mm] V gilt :
> r [mm]\* (\vec{a}[/mm] + [mm]\vec[/mm] b ) = r [mm]\* \vec[/mm] a + [mm]\vec[/mm] b
> 2.2 Es gilt das Assotiativ gesetzt
> 2.3 Für alle [mm]\vec[/mm] a gilt : 1* [mm]\vec[/mm] a = [mm]\vec[/mm] a
>
> Das sind die Regeln die ich habe. Ich verstehe sie auch
> einigermaßen , jedoch habe ich Probleme bei der Anwendung
> z.b. bei Folgender Aufgabe.
> Ebenfalls verstehe ich nicht die SChreibweise, die die
> Aufgabe hat.
>
> AFG: Überprüfen sie, ob die M;enge V zusammen mit der für
> den Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] definierten Addition und
> Multiplikation ein Vektorraum ist
> a) V= [mm]\{ (a) |a \in \IR \}
[/mm]
> (0)
> (0)
Meinst du vielleicht [mm] V=\{\vektor{a\\0\\0}|a\in\IR\}?
[/mm]
Wenn ja, dann ist das hier die Erklärung der Schreibweise:
Es bedeutet, dass die Elemente deines Vektorraumes alle von dieser Form sind. Das heißt, es sind Vektoren (dreidimensionale), bei denen die zweite und dritte Komponente =0 ist. Die erste Komponente kann jede beliebige Zahl aus [mm] \IR [/mm] sein. Elemente dieses Vektorraumes wären also z. B. [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{2\\0\\0}, [/mm] usw., aber auch [mm] \vektor{\bruch{1}{2}\\0\\0}, [/mm] aber zum Beispiel nicht [mm] \vektor{1\\1\\1}. [/mm] Ist das klar, warum?
Nun musst du im Prinzip "nur" die angegebenen Gesetze überprüfen für deine "speziellen" Vektoren.
Fangen wir mal mit der Addition an:
Du weißt sicher, wie Vektoren normalerweise addiert werden, und genauso können wir hier die Addition machen, nur haben wir halt etwas speziellere Vektoren. Wir schreiben also:
[mm] \vektor{a\\0\\0}+\vektor{b\\0\\0}:=\vektor{a+b\\0\\0}
[/mm]
das ist doch eigentlich ganz simpel, oder?
Und nun soll es u. a. ein Nullelement [mm] \vec0 [/mm] geben, sodass gilt:
[mm] \vec{a}+\vec0=\vec{a}
[/mm]
Nun geben wir einfach ein solches Element an, das ist nämlich sehr einfach zu finden, wir nehmen: [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] (also den gleichen, wie im Vektorraum [mm] \IR).
[/mm]
Dann gilt nämlich:
[mm] \vektor{a\\0\\0}+\vektor{0\\0\\0}=\vektor{a\\0\\0}
[/mm]
und das sollte ja so gelten! 
Nun soll es noch ein Gegenelement, ein sogenanntes Inverses, geben. Auch dieses ist recht einfach anzugeben, zu [mm] \vektor{a\\0\\0} [/mm] ist es [mm] \vektor{-a\\0\\0}, [/mm] denn:
[mm] \vektor{a\\0\\0} [/mm] + [mm] \vektor{-a\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz kannst du im Prinzip einfach so hinschreiben. Du nimmst dir beim Kommutativgesetz einfach zwei Vektoren und addierst sie nach der oben definierten Addition, und dann addierst du sie in umgekehrter Reihenfolge. Das ist ein "Einzeiler", und da steht dann in der ersten Komponente einmal a+b und einmal b+a. Das ist aber dasselbe, wie wir irgendwann in der Grundschule gelernt haben.
> Wäre nett wenn mit jmd den Lösungsweg erklärt, denn ich
> komme nicht einmal auf einen Ansatz, denn die Form ist mir
> völlig Fremd
Das soll erst mal reichen, vielleicht war dein Vektorraum ja doch anders definiert?
Vielleicht kommst du ja jetzt schon ein Stückchen alleine weiter, ansonsten hilft dir hier bestimmt noch jemand, notfalls mache ich das in den nächsten Tagen (wenn das noch bis dahin Zeit hat ).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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<Meinst du vielleicht $ [mm] V=\{\vektor{a\\0\\0}|a\in\IR\}? [/mm] $
<Wenn ja, dann ist das hier die Erklärung der Schreibweise:
<Es bedeutet, dass die Elemente deines Vektorraumes alle von dieser Form <sind. Das heißt, es sind Vektoren (dreidimensionale), bei denen die zweite <und dritte Komponente =0 ist. Die erste Komponente kann jede beliebige <Zahl aus $ [mm] \IR [/mm] $ sein. Elemente dieses Vektorraumes wären also z. B. $ [mm] <\vektor{1\\0\\0}, \vektor{2\\0\\0}, [/mm] $ usw., aber auch $ [mm] <\vektor{\bruch{1}{2}\\0\\0}, [/mm] $ a
Kann ich mir den Raum, dann etwa so vorstellen: Es ist ein Vektor von einem Punkt : [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] bis zum Punkt [mm] \vektor{ \infty\\0\\0}. [/mm] Geht das dann in einen Bereich der Ebene , oder wie kann ich mir das Vorstellen, denn Damit habe ich Probleme.
< Das soll erst mal reichen, vielleicht war dein Vektorraum ja doch anders definiert?
Nein das ist alles was ich bis jetzt weiss, bzw was mein Buch her gibt
Im weiteren Teil muss ich mich noch mit Basis und Dimension befassen ..... mal gucken, aber soweit bin ich nicht
Thx nochmal für die schnelle Antwort.
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Hallo rigolator!
Als erstes Mal eine Bitte:
Eine Anrede ist immer erwünscht! Und beantworte doch die Fragen in den Antworten - du hast mir nämlich immer noch nicht gesagt, ob dein Vektorraum wirklich so definiert ist... Siehe hier:
> <Meinst du vielleicht [mm]V=\{\vektor{a\\0\\0}|a\in\IR\}?[/mm]
> <Wenn ja, dann ist das hier die Erklärung der
> Schreibweise:
> <Es bedeutet, dass die Elemente deines Vektorraumes alle
> von dieser Form <sind. Das heißt, es sind Vektoren
> (dreidimensionale), bei denen die zweite <und dritte
> Komponente =0 ist. Die erste Komponente kann jede beliebige
> <Zahl aus [mm]\IR[/mm] sein. Elemente dieses Vektorraumes wären also
> z. B. [mm]<\vektor{1\\0\\0}, \vektor{2\\0\\0},[/mm] usw., aber auch
> [mm]<\vektor{\bruch{1}{2}\\0\\0},[/mm] a
>
> Kann ich mir den Raum, dann etwa so vorstellen: Es ist ein
> Vektor von einem Punkt : [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] bis zum Punkt
> [mm]\vektor{ \infty\\0\\0}.[/mm] Geht das dann in einen Bereich der
> Ebene , oder wie kann ich mir das Vorstellen, denn Damit
> habe ich Probleme.
Außerdem sieht es irgendwie komisch aus, wie mein Zitat hier erscheint, da sind so viele < und > mitten in der Zeile... !?
Aber nun zu deiner Frage:
Ich glaube, das verstehst du falsch. Ein Vektor an sich ist immer "vom Nullpunkt" aus definiert. Das heißt, der Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] fängt bei (0/0/0) an und geht bis (1/0/0). Du kannst natürlich, z. B. bei Geradengleichungen, einen Vektor auf einen anderen draufsetzen, dann hast du einen Stützvektor, von dem dann der Richtungsvektor ausgeht. Aber darum geht es hier nicht. Hier brauchen wir nur die Vektoren, die "vom Nullpunkt" ausgehen...
Ich weiß nicht, was du hier mit einer Ebene möchtest. Im Prinzip ist ein Vektorraum nur eine Menge von Vektoren, in denen bestimmte Gesetze gelten (die hast du ja in der anderen Frage aufgeschrieben). Und in diesem Fall hast du eben alle Vektoren, bei denen die erste Komponent eine reelle Zahl ist und die beiden anderen Komponenten 0 sind.
Ich weiß, für Schüler ist das wohl noch sehr schwierig zu verstehen. Aber ich weiß im Moment nicht, wie ich es anders erklären soll, wenn du die Frage nochmal anders stellen kannst, kann ich es vielleich t nochmal anders versuchen. Oder hast du es jetzt verstanden?
> Im weiteren Teil muss ich mich noch mit Basis und Dimension
> befassen ..... mal gucken, aber soweit bin ich nicht
Das ist im Prinzip auch nicht so schwierig, ich glaube, das habe ich in der Schule damals schon etwas besser verstanden als diese komischen Vektorräume... Aber wenn du soweit bist, kannst du auch gerne dazu Fragen stellen.
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:56 Sa 08.01.2005 | | Autor: | wluut |
> Kann ich mir den Raum, dann etwa so vorstellen: Es ist ein
> Vektor von einem Punkt : [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] bis zum Punkt
> [mm]\vektor{ \infty\\0\\0}.[/mm] Geht das dann in einen Bereich der
> Ebene , oder wie kann ich mir das Vorstellen, denn Damit
> habe ich Probleme.
Hallo!
Jaja, die Sache mit dem Vorstellen ("Können Sie sich bitte mal davor stellen?" :)) )...
Was ein Vektorraum ist, sagt dir die Definition aus dem Buch, nicht mehr und nicht weniger.
Allerdings gibt es natürlich Vektorraüme, die man sich ganz gut vorstellen kann. Zum Beispiel haben wir wahrscheinlich alle mal mit dem [mm] \IR^2 [/mm] angefangen und dort schöne Pfeile eingezeichnet.
Die [mm] \IR^2-Ebene [/mm] ist also ein bestimmter Vektorraum.
Aber auch der [mm] \IR^3 [/mm] ist ein Vektorraum, den man sich gut vorstellen kann (das ist soger im umgangssprachlichen Sinn ein "Raum"). Der [mm] \IR^3 [/mm] hat übrigens 3 Dimensionen (es gibt 3 Koordinaten, mit denen man jeden Punkt erreichen kann), alles noch ziemlich anschaulich, gell?
Der Vektorraum, den du jetzt am Wickel hast ( [mm] \vektor{a\\0\\0} [/mm] , [mm] a\in\IR [/mm] ) ist ein sogenannter Unterraum vom [mm] \IR^3. [/mm] Er enthält nämlich nur die Vektoren aus [mm] \IR^3, [/mm] wo die y und z-Kooardinaten 0 sind. Wenn du dir die Vektoren mal aufmalst (oder die entsprechenden Punkte), wirst du sehen, dass sie alle auf der x-Achse liegen. Deinen Vektorraum kannst Du dir also quasi als die x-Achse des [mm] \IR^3 [/mm] vorstellen. Alle Vektoren, die auf der x-Achse liegen, kannst du beliebig verlängern oder verkürzen (mit einer reellen Zahl multiplizieren) oder an andere Vektoren anhängen (addieren), ohne dass du jemals aus der x-Achse rauskommst. Das ist ein Vektorraum.
So ist zum Beispiel auch die xy-Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] ein Vektorraum. Wenn du nur Vektoren aus dieser Ebene benutzt (addierst und multiplizierst), wirst du niemals aus der Ebene herauskommen.
Es ist sogar so, dass jede Gerade und jede Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] die durch den Nullpunkt gehen, ein eigener Vektorraum sind.
Vielleicht hilft dir das bei deiner Vorstellung.
Eine Gerade, die NICHT durch den Nullpunkt geht, ist KEIN Vektorraum. (Nach der Definition brauchst du ja eine [mm] \vec{0})
[/mm]
Auch ein Rechteck oder eine Strecke oder so ist kein Vektorraum, weil du es immer schaffen kannst, durch Addition zweier Vektoren aus dem (endlichen) Bereich herauszukommen.
Jetzt kommt man aber langsam in einen Bereich, wo das Vorstellen immer schwerer wird. (Hör einfach auf zu lesen, wenn's zu kompliziert wird)
OK, wenn [mm] \IR, \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] Vektorräume sind, wundert man sich nicht, dass auch [mm] \IR^4, \IR^5, [/mm] usw. Vektorräume sind, nur mit der Vorstellung klappt das halt nicht mehr so.
So können zum Beispiel auch Funktionenklassen einen Vektorraum bilden, zum Beispiel alle Polynome zweiten (dritten, vierten,...) Grades. Man kann sie nämlich addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren wie man will, und es kommt immer wieder ein Polynom zweiten (3.,4.,...) Grades heraus.
So, und jetzt viel Spaß bei deinem Buch!
gute n8!
wluut
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 11.01.2005 | | Autor: | rigolator |
Hallo Bastiane ,
hattest recht, Basis und Dimension sind eigentlich einfacher zu verstehen als der Vektorraum an sich ;.)
good n8
rigolator
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 10.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Also ich habe jetzt mal besagtes Buch heraus gekramt und es stimmt so, wie "Bastiane" es vermutet hat !!
es fehlt also nur noch die Beweise für den Teil mit der Multiplikation bei der Definition des VRs !
hier kannst du dich auch immer ganz lässig auf $ [mm] \IR [/mm] $ zurück ziehen:
zu 2.1 )
$ [mm] r*(\vec{a_{1}} +\vec{a_{2}})=r*(\vektor{a_{1}\\0\\0} +\vektor{a_{2}\\0\\0})=r*(\vektor{a_{1}+a_{2}\\0\\0})=\vektor{r*(a_{1}+a_{2})\\0\\0} [/mm] $
und jetzt darfst du in der ersten Komponente die Rechengesetze aus $ [mm] \IR [/mm] $ anwenden:
$ [mm] \vektor{r*(a_{1}+a_{2})\\0\\0} =\vektor{r*a_{1}+r*a_{2}\\0\\0} [/mm] $
und das ist gerade gleich der linken Seite...
hast du das Prinzip verstanden?
Der rest wurde eigentlich auch schon beantwortet - also bitte nachfragen, wenn Unklarheiten vorhanden sind.
viele Grüße
DaMenge
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@Bastiane , DaMenge
vielen Dank habs bis dahin verstanden, war kein Problem.
nun muss ich noch Basis und Dimension erklären.
Was eine Basis ist und eine Dimension habe ich kapiert , jedoch komme ich mit dem Begriff der "Standardbasis" nicht klar:
Er ist laut Buch wie folgt definiert:
"Der Vektorraum [mm] \IR^{n} [/mm] , n [mm] \in \IN, [/mm] hat at die Dimension n. Seine einfachste Basis ist [mm] \vec{e_{1}}=\vektor{1\\0\\0\\.....\\0} [/mm] , [mm] \vec{e_{2}}=\vektor{0\\2\\0\\.....\\0} ,............\vec{e_{n}}=\vektor{0\\0\\0\\.....\\1}, [/mm] denn für jeden Vektor [mm] \vec{c}=\vektor{c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\.....\\c_{n}} [/mm] gilt:
[mm] \vec{c}=c _{1}\vec{c_{1}}+c _{2}\vec{c_{2}}+.......+c x_{n}\vec{c_{n}}. [/mm] Die Basis [mm] \vec{c_{1}},\vec{c_{2}},.....\vec{c_{n}} [/mm] heißt Standardbasis."
Mein Problem ist zum 1. sind die Vektoren [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] beliebig gewählte linerar unabhängige Vektoren?
2. Wie kommt man auf folgende [mm] addition:\vec{c}=c _{1}\vec{c_{1}}+c _{2}\vec{c_{2}}+.......+c [/mm]
Woher kommt sie ?!?
Vielen Dank schonmal im vorraus, habt mir bis hierher schon viel geholfen!
rigolator
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 10.01.2005 | | Autor: | reneP |
Also zu erst mal eine kurze wiederholung, was ein Basis ist, damit wir über das gleiche reden.
eine Basis ist ein minimales erzeugenden systems eines vektorraums.
im [mm] \IR^{3} [/mm] gibt es zum beispiel die standart basis
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
mit diesen 3 Vektoren, kannst du jeden Punkt im [mm] \IR^{3} [/mm] als linearkombination darstellen.
z.b.
[mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 1} [/mm] = [mm] 6*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 4*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] 1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
so die dimension ist die anzahl der vektoren in der basis.
so jetzt zu deiner Frage:
Du hättest für den [mm] \IR^{3} [/mm] auch eine andere basis wählen können z.b.:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
man beachte, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind, sonst würden sie keine basis bilden. Nun kannst du den Vektor [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 1} [/mm] wieder als linearkombination deiner basis darstellen
[mm] 6*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} -2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } -5*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
jetzt sollte dir klar sein, warum die von dir genannte basis standart basis heißt. Du kannst jeden vector leicht als linearkombination darstellen. Hast du keine standartbasis, sondern die von mir angegebene oder eine noch schlimmere [mm] (z.b.:\vec c_1 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} ,\vec c_2 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 2 } [/mm] , [mm] \vec c_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] so kannst du den vektor [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 1} [/mm] auch als linearkombination deiner basis darstellen. Dazu musst du dann ein gleichungssystem lösen
6=c1*4 + c2*3 + c3*1
4=c1*3 + c2*2 + c3*(-2)
1=c1*1 + c2*1 + c3*1
ich hoffe ich konnte dir helfen
mfg René
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Ok rene ,
hab ich auch verstanden ,super .
Nur heist es jetzt wie folgt in einer Aufgabe:
" In einem Koordinatensystem bilden die Vektoren [mm] \vec {e_{1}} [/mm] = [mm] \vek{0E_{1}}, \vec {e_{2}} [/mm] = [mm] \vek{0E_{2}} [/mm] mit [mm] E_{1} [/mm] (1/0) und [mm] E_{2} [/mm] (0/1) die Standardbasis des [mm] \IR^2"
[/mm]
Was bedeutet nun die 0 vor [mm] demE_{1} [/mm] ?!? Und was bedeuten die beiden Punkte?!? Wie "baue" ich mir meine normale Standardbasis , wie rene sie mir erklärt hat , sprich in Vektorenform!?!?
thx
Philipp
und Good n8
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
ich hab nachgeschaut:
richtig heißt es (achte bitte auf die genaue Schreibung):
$ [mm] \vec{e_1}=\vec{OE_1} [/mm] $ und $ [mm] \vec{e_2}=\vec{OE_2} [/mm] $
mit E1=(1;0) usw...
Das heißt $ [mm] \vec{e_1} [/mm] $ ist der Vektor vom Nullpunkt zum Punkt (1;0)
und der andere analog
dies ist bereits die Standardbasis des R²
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 11.01.2005 | | Autor: | rigolator |
Hallo Damenge,
danke habs auch verstanden,
jetzt ist es mir klar, aus dem Le(e)hrbuchtext geht das leider nicht so deutlich hervor.
Wenn nochmal Probleme auftauchen, melde ich mich nochmal ,
Mfg
Rigolator
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Ich habe jetzt noch eine Frage, was denn der Sinn des Vektorraums ist ?!?
Bis jetzt weiss ich nur , dass ich damit im [mm] \IR^{2} [/mm] oder [mm] \IR^{3} [/mm] alle Vektoren beschreiben kann. Aber was bringt es mir , ich konnte das ja bisher mit den Vektoren auch?!?
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Der Sinn der Vektorräume bleibt einem manchmal verborgen!
Nee... Spaß beiseite, Vektorräume sind schon nützlich.
Ganz einfach weil man einen Haufen von Eigenschaften und Sätzen beweisen kann, die jedem Vektoraum gelten. Das eröffnet dann natürlich ganz neue Perspektiven zum Arbeiten.
Zum einen kann man dann zeigen, daß beispielsweise das Objekt, mit dem man sich befaßt, ein Vektorraum ist und damit alle allgemeinen Folgerungen über Vektorräume auf das Objekt anwenden.
Eine andere nützliche Eigenschaft ist die Isomorphie von Vektorräumen. Das heißt, daß, anschaulich gesprochen, zwei verschiedene Vektorräume in allen wichtigen Eigenschaften übereinstimmen, obwohl sie sehr unterschiedlich aussehen können.
Das bedeutet dann, daß man bestimmte Dinge statt in dem Vektorraum, in dem man sich gerade befindet, auch in einem anderen, dazu isomorphen Vektorraum beweisen kann, was dort unter Umständen sehr viel einfacher sein kann.
Weitere Informationen zu Vektorräumen, Isomorphie, linearer Algebra etc. findest Du auch hier: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra.
Gruß,
Christian
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Danke Christian19,
Bin jetzt grad noch an Bsp für Vektorräumen suchen ,
habe schon Matrizen, wie schon gesagt Vektoren und schlage mich gerade mi der Lösungsmenge eines homogenen LGS rum....
Bis nachher
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 11.01.2005 | | Autor: | reneP |
Also wenn ich das richtig sehe suchst du jetzt nach einem Beispiel für einen Vektorraum, der nicht der [mm] \IR^{3} [/mm] oder [mm] \IR^{2} [/mm] ist.
da kannst du z.b. den Vektorraum der stetigen Funktionen nehmen. Dieser erfüllt alle Vektorraumaxiome.
z.b. das die Summe von 2 Stetigen Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. Das interessante ist wie oben schon erwähnt, dass jetzt die Funktion als Element eines Vektorraums angesehen wird und dass alles was man über unendlichdimensionale Vektorräume weiß, auch für den Vektorraum der stetigen Funktionen gilt.
Zum Beispiel hat der oben angegebene Vektorraum den unterraum der unendlichoft stetig differenzierbaren Funktionen...
mfg René
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Hallo,
habe gerade vollgende Aufgaeb vor mir :
"Zeige sie , dass die Menger der 2x 2 Matrizen mit [mm] a_{12}=a_{21}=0 [/mm] ein Vektorraum ist ."
Ich würde die Matrix aufstellen und mit der Multiplikation versuchen zu beweisen und zwar so :(r ist eine normale reelle Zahl)
r [mm] \*\pmat{ a_{11} & 0 \\ 0 & a_{11} }=\pmat{ r\*a_{11} &r \*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }
[/mm]
Dies nun normal nach den Rechenregeln auflösen und am Ende steht auf beiden seite das gleiche sprich :
[mm] \pmat{ r\*a_{11} & r\*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }=\pmat{ r\*a_{11} & r\*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }
[/mm]
Ist die Aufgabe so korrekt gelöst?!? Oder was vestehe ich falsch ?!?
thx
rigolator
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Hallo rigolator!
> Hallo,
> habe gerade vollgende Aufgaeb vor mir :
> "Zeige sie , dass die Menger der 2x 2 Matrizen mit
> [mm]a_{12}=a_{21}=0[/mm] ein Vektorraum ist ."
> Ich würde die Matrix aufstellen und mit der Multiplikation
> versuchen zu beweisen und zwar so :(r ist eine normale
> reelle Zahl)
>
> r [mm]\*\pmat{ a_{11} & 0 \\ 0 & a_{11} }=\pmat{ r\*a_{11} &r \*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }
[/mm]
>
> Dies nun normal nach den Rechenregeln auflösen und am Ende
> steht auf beiden seite das gleiche sprich :
> [mm]\pmat{ r\*a_{11} & r\*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }=\pmat{ r\*a_{11} & r\*0 \\ r\*0 & r\*a_{11} }
[/mm]
>
> Ist die Aufgabe so korrekt gelöst?!? Oder was vestehe ich
> falsch ?!?
Also, ich würde sagen, das sieht richtig aus. Allerdings reicht das natürlich nicht, du musst theoretisch alle Vektorraumaxiome beweisen, aber das ist dir klar, oder?
Viele Grüße
Bsatiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 11.01.2005 | | Autor: | rigolator |
Hallo Bastiane,
danke für die schnelle Antwort,
ja das ist klar es ging mir nur um das Prinzip, weil mein Lehrer heute zu mir kam und meine ich solle noch Matrizen und andere Bsp für Vektorräume einbauen.... Da freut man sich
Good n8
rigolator
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
