Herausfinden ob es eine < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden 6 Abbildungen linear sind und begründen Sie ihre Antwort.
1) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^4$
[/mm]
mit $F [mm] \vektor{ \vektor{x \\ y \\ z} } [/mm] := [mm] \vektor{x+y \\ x+z \\ z-x \\ z-y}$ [/mm] |
Hi, also ich habe das Problem, dass wir sowas nur theoretisch besprochen haben wie man das Prüfen kann, jedoch kann ich mich daran nicht mehr so genau errinern bzw. ich kann die Theorie nicht in die Praxis umsetzen.
Ich weiß, dass Abbildungen die mit Addition und Multiplikation verträglich sind, sind lineare Abbildungen. Ein Bsp dafür wäre, wenn man sein Geld welchseln will und man ist zu zweit auf der Bank, dann macht es für eine Funktion wie $x = 1,2*x$ keinen Unterschied ob ich erst das Geld der beiden Persone addiere und dann tausche oder ob ich es einzeln Tausche!
Aber ich kann jetzt leider nichts mit dieser Aufgabe anfangen, ich bräuchte evtl eine Beispielaufgabe oder einen Ansatz.
Könnt ihr mir helfen????
Danke!
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Fr 24.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du nimmst dir einfach zwei beliebige Vektoren : [mm] $\vektor{x_1\\y_1\\z_1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{x_2\\y_2\\z_2}$
[/mm]
und berechnest einmal [mm] $F\vektor{\vektor{x_1\\y_1\\z_1}}+F\vektor{\vektor{x_2\\y_2\\z_2}}$ [/mm] und einmal [mm] $F\vektor{\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2}}$
[/mm]
wenn da dasselbe rauskommt, hast verträglichkeit bzgl Addition gezeigt.
(wenn nicht dasselbe rauskommt, genügt ein gegenbeispiel)
((analog mit dem skalarem vielfachen))
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Fr 24.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Dankeschön!
Damit werde ich es gleich mal probieren!
Gruß Thomas
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden 6 Abbildungen linear sind und begründen Sie ihre Antwort.
1) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^4$
[/mm]
mit $F [mm] \vektor{ \vektor{x \\ y \\ z} } [/mm] := [mm] \vektor{x+y \\ x+z \\ z-x \\ z-y}$ [/mm] |
Hi, also ich hab die Aufgabe mal gelöst und ich denke zwar dass sie richtig ist, ich möchte aber gerne nochmal Rückfragen. Ich habe folgendes gerechnet:
F [mm] \vektor{ \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} } [/mm] + F [mm] \vektor{ \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} } [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 \\ x_1 + z_1 \\ z_1 - x_1 \\ z_1 - y_1} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 + y_2 \\ x_2 + z_2 \\ z_2 - x_2 \\ z_2 - y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 + x_2 + y_2 \\ x_1 + z_1 + x_2 + z_2 \\ z_1 - x_1 + z_2 - x_2 \\ z_1 - y_1 + z_2 - y_2}
[/mm]
F [mm] \vektor{ \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} + \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} } [/mm] = F [mm] \vektor{ \vektor{x_1 + x_2\\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2} } [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 + x_2 + y_2 \\ x_1 + z_1 + x_2 + z_2 \\ z_1 - x_1 + z_2 - x_2 \\ z_1 - y_1 + z_2 - y_2}
[/mm]
Also wäre doch hiermit gezeigt/begründet, dass dieser Vektor linear ist. Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 24.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
sieht richtig aus, aber du hast noch nicht gezeigt, dass
a*f(v)=f(a*v) , also die Sache mit der skalaren Multiplikation...
solltest jetzt aber allein schaffen, oder?
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Fr 24.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Achso ich wusste garnicht dass ich das mit beidem zeigen muss!
Ja ich denke schon, dass ich das schaffe :) Falls ich bei irgendeiner Aufgabe hängen sollte melde ich mich nochmal!
Dankeschön!
Gruß Thomas!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Fr 24.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden 6 Abbildungen linear sind und begründen Sie ihre Antwort.
1) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^4$
[/mm]
mit $F [mm] \vektor{ \vektor{x \\ y \\ z} } [/mm] := [mm] \vektor{x+y \\ x+z \\ z-x \\ z-y}$ [/mm] |
Bitte diesen Beitrag löschen oder als Mitteilung markieren denn die Frage wurde beantwortet weiter unten! Danke!!
Ich habe so das dumpfe Gefühl, dass ich etwas falsch gemacht habe bei der Multiplikation! Mir kam es komisch vor, dass ich bis jetzt nur "lineare Funktionen" gefunden habe.
Ich schreibe mal meine Rechnungen auf.
$F$ [mm] \vektor{ \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} } [/mm] $*$ $F$ [mm] \vektor{ \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} } [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + y_1 \\ x_1 + z_1 \\ z_1 - x_1 \\ z_1 - y_1} [/mm] $*$ [mm] \vektor{x_2 + y_2 \\ x_2 + z_2 \\ z_2 - x_2 \\ z_2 - y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 * x_2 + x_1 * y_2 + y_1 * x_2 + y_1 * y_2 \\ x_1 * x_2 + x_1 * z_2 + z_1 * x_2 + z_1 * z_2 \\ z_1 * z_2 - z_1 * x_2 - x_1 * z_2 - x_1 * x_2 \\ z_1 * z_2 - z_1 * y_2 - y_1 * z_2 - y_1 * y_2}
[/mm]
$F$ [mm] \vektor{ \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} * \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} } [/mm] = $F$ [mm] \vektor{ \vektor{x_1 * x_2 \\ y_1 * y_2 \\ z_1 * z_2} } [/mm] = $F$ [mm] \vektor{ \vektor{(x_1 + y_1) * (x_2 + y_2) \\ (x_1 + z_1) * (x_2 + z_2) \\ (z_1 - x_1) * (z_2 - x_2) \\ (z_1 - y_1) * (z_2 - y_2) } } [/mm] = [mm] \vektor{x_1 * x_2 + x_1 * y_2 + y_1 * x_2 + y_1 * y_2 \\ x_1 * x_2 + x_1 * z_2 + z_1 * x_2 + z_1 * z_2 \\ z_1 * z_2 - z_1 * x_2 - x_1 * z_2 - x_1 * x_2 \\ z_1 * z_2 - z_1 * y_2 - y_1 * z_2 - y_1 * y_2}
[/mm]
Wäre Linar. Aber ich glaube ich habe das falsch gerechnet oder?
Nachtrag: Mir ist eben noch eine Idee gekommen, muss ich den Vektor nicht mit einem Vektor multiplizieren sondern mit einem beliebigen Scalar um zu zeigen, dass er Linear ist?
Kann man überhaupt einen Vektor mit einem Vektor multiplizieren bzw. macht das Sinn?
Danke für eure Hilfe!
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Ich bin dabei die Aufgaben zu rechnen. Bisher habe ich keine einzige Aufgabe gefunden die nicht linear ist (vorrausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet!
Gibt es einen "Trick" wie man recht schnell erkennen kann, ob ein Vektor linear oder nicht linear ist?
Danke!
Gruß Thomas
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Ich glaube, du hast DaMenge falsch verstanden... Für die Linearität einer Abbildung ist zu zeigen:
1) f(x) + f(y) =f(x+y) für x,y [mm] \in \IR^3
[/mm]
2) a*f(x) = f(a*x) für [mm] x\in \IR^3 [/mm] und [mm] a\in \IR
[/mm]
Du kannst auch alle beiden Kriterien in einem prüfen (würde ich dir aber für den Anfang nicht zu raten - nenne das nur mal der Vollständigkeit halber):
z.z. f(ax+by) = a*f(x) + b*f(y) für x,y [mm] \in \IR^3 [/mm] und a,b [mm] \in \IR
[/mm]
Dabei ist zu beachten, dass x und y Vektoren sind und a und b relle Skalare, d.h. es gilt für a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] = x [mm] \in \IR^2:
[/mm]
a*x = [mm] a*\vektor{x1 \\ x2} [/mm] = [mm] \vektor{a*x1 \\ a*x2}
[/mm]
Also versuche mal, deine Abbildungen mit diesen 2 Kriterien zu überprüfen. Kann ja auch sein, dass alle linear sind...
Ich glaube, du hast eben den Fehler gemacht, statt einem Skalar einen Vektor zu benutzen, das geht natürlich nicht...
Lg Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Fr 24.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, dankeschön! Ich habs mir fast gedacht dass das falsch ist, mit dem was ich da mache indem ich zwei Vektoren mit Vektoren multipliziere. Das habe ich dann auch in der Korrektur (v1) gezeigt.
Danke für deine ausführliche Erklärung! Also ich werde jetzt das ganze noch für die Multiplikation von vorne durchrechnen! Ich hoffe dass ich dann zu etwas brauchbarem komme!
Danke!
Gruß Thomas
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden 6 Abbildungen linear sind und begründen Sie ihre Antwort.
1) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^4$
[/mm]
mit $F [mm] \vektor{ \vektor{x \\ y \\ z} } [/mm] := [mm] \vektor{x+y \\ x+z \\ z-x \\ z-y}$ [/mm] |
Hi, ich hänge jetzt doch bei der Multiplikation, da ich mir nicht sicher bin wie ich das Skalar von [mm] $\IR^3 \to \IR^4$ [/mm] "verteilt wird".
Ich habe folgenden Ansatz:
$F [mm] \vektor{ \lambda * \vektor{x \\ y \\ z} } [/mm] = [mm] \vektor{ { \lambda * x \\ \lambda * y \\ \lambda * z}}= [/mm] ???$
Was kommt jetzt? Ich habe zwei Möglichkeiten wie ich sie mir denke wie es gehen könnte.
1. [mm] $\vektor{\lambda*x + \lambda*y \\ \lambda * x + \lambda * z \\ \lambda * z - \lambda * x \\ \lambda * z - \lambda * y}$
[/mm]
2. [mm] $\vektor{\lambda*x + y \\ \lambda*x + z \\ \lambda*z - x \\ \lambda*z - y}$
[/mm]
Die erste Variante sieht für mich sinnvoller aus. Welche stimmt denn oder garkeine?
Danke für eure Hilfe!
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Hi,
also deine erste Variante ist richtig. Dann kannst du das [mm] \lambda [/mm] ausklammern und aus dem Vektor ziehen (ist und bleibt ein Skalar)...
Lg Kiki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 25.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Dankeschön!
Dann kann ich jetzt weiter machen 
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Sa 25.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, also ich habe das ganze jetzt bei jeder dieser 6 Aufgaben durchgerechnet (mit addieren und multiplizieren). Ich habe keine nichtlineare Funktion gefunden :-/
Hm glaube ich irgendwie nicht so ganz, dass das wirklich so ist!
Gruß Thomas
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