Heisenbergs Unbestimmtheit < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 14.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
eine Möglichkeit die allgemeine Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zu beweisen ist folgende: Man Definiert den Vektor
[mm] $\vert\psi\rangle=\left(A+i\lambda B\right)\vert\varphi\rangle$ [/mm] (I)
wobei A und B Observablen sind und bildet Das Betragsquadrat
[mm] $\langle\psi\vert\psi\rangle=\langle A^{2}\rangle+i\lambda\langle\left[A,B\right]\rangle+\lambda^{2}\langle B^{2}\rangle\geq0$ [/mm] (II)
Da taucht meiner Meinung nach schon die erste Ungereimtheit auf. Ich müsste ja eigentlich voraussetzen, dass der Kommutator [mm] $\left[A,B\right]$ [/mm] imaginär ist, aber das soll ja allgemein gelten...
Im nächsten Schritt wird gesagt, dass die Diskriminante der quadratischen (Un-)Gleichung in [mm] $\lambda$ [/mm] kleiner gleich 0 sein muss, also
[mm] $-\frac{\langle\left[A,B\right]\rangle^{2}}{4\langle B^{2}\rangle^{2}}-\frac{\langle A^{2}\rangle}{\langle B^{2}\rangle}\leq0$
[/mm]
Warum ist das so?
Ich dachte weil [mm] $\lambda$ [/mm] imaginär sein muss, damit [mm] $i\lambda$ [/mm] reell wird (sonst wäre das Betragsquadrat imaginär).
Wenn ich aber Gleichung (II) löse, erhalte ich mit p-q-Fromel
[mm] $\lambda_{1,2}=-\frac{i\langle\left[A,B\right]\rangle}{2\langle B^{2}\rangle}\pm\sqrt{-\frac{\langle\left[A,B\right]\rangle^{2}}{4\langle B^{2}\rangle^{2}}-\frac{\langle A^{2}\rangle}{\langle B^{2}\rangle}}$
[/mm]
Sehe ich doch, dass [mm] $\lambda$ [/mm] nur imaginär wird, wenn der Kommutator [mm] $\left[A,B\right]$ [/mm] reell ist, was wiederum einen Widerspruch zur ersten Annahme darstellt.
Also irgendwie ist da der Wurm drin...
Sieht jemand wo?
Gruß,
notinX
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Hallo notinX!
> Hallo,
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> eine Möglichkeit die allgemeine Heisenbergsche
> Unbestimmtheitsrelation zu beweisen ist folgende: Man
> Definiert den Vektor
> [mm]\vert\psi\rangle=\left(A+i\lambda B\right)\vert\varphi\rangle[/mm]
> (I)
> wobei A und B Observablen sind
Genauer sind $A$ und $B$ den Observablen zugeordnete hermitesche Operatoren und [mm] $\lambda$ [/mm] ist eine reelle Zahl.
> und bildet Das
> Betragsquadrat
> [mm]\langle\psi\vert\psi\rangle=\langle A^{2}\rangle+i\lambda\langle\left[A,B\right]\rangle+\lambda^{2}\langle B^{2}\rangle\geq0[/mm]
> (II)
Genauer:
[mm] $\langle\psi\vert\psi\rangle=\langle\varphi\vert A^{2}\vert\varphi\rangle+i\lambda\langle\varphi\vert\left[A,B\right]\vert\varphi\rangle+\lambda^{2}\langle \varphi\vert B^{2}\vert\varphi\rangle\geq0$ [/mm]
> Da taucht meiner Meinung nach schon die erste
> Ungereimtheit auf. Ich müsste ja eigentlich voraussetzen,
> dass der Kommutator [mm]\left[A,B\right][/mm] imaginär ist, aber
> das soll ja allgemein gelten...
Der Realteil von [mm] $\langle\varphi\vert\left[A,B\right]\vert\varphi\rangle$ [/mm] ist $0$.
> Im nächsten Schritt wird gesagt, dass die Diskriminante
> der quadratischen (Un-)Gleichung in [mm]\lambda[/mm] kleiner gleich
> 0 sein muss, also
> [mm]-\frac{\langle\left[A,B\right]\rangle^{2}}{4\langle B^{2}\rangle^{2}}-\frac{\langle A^{2}\rangle}{\langle B^{2}\rangle}\leq0[/mm]
>
> Warum ist das so?
Das ist so, weil für die in [mm] $\lambda$ [/mm] quadratische Polynomfunktion $p: [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R, [mm] \lambda \mapsto \langle\psi\vert\psi\rangle$ [/mm] gilt, dass [mm] $p(\lambda) \geq [/mm] 0 [mm] \; \forall \lambda \in \mathbb [/mm] R$.
> Ich dachte weil [mm]\lambda[/mm] imaginär sein muss,
[mm] $\lambda$ [/mm] ist reell.
> damit
> [mm]i\lambda[/mm] reell wird (sonst wäre das Betragsquadrat
> imaginär).
> Wenn ich aber Gleichung (II) löse, erhalte ich mit
> p-q-Fromel
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-\frac{i\langle\left[A,B\right]\rangle}{2\langle B^{2}\rangle}\pm\sqrt{-\frac{\langle\left[A,B\right]\rangle^{2}}{4\langle B^{2}\rangle^{2}}-\frac{\langle A^{2}\rangle}{\langle B^{2}\rangle}}[/mm]
>
> Sehe ich doch, dass [mm]\lambda[/mm] nur imaginär wird, wenn der
> Kommutator [mm]\left[A,B\right][/mm] reell ist, was wiederum einen
> Widerspruch zur ersten Annahme darstellt.
> Also irgendwie ist da der Wurm drin...
> Sieht jemand wo?
[mm] $i\left[A,B\right]$ [/mm] ist ein hermitescher Operator.
>
> Gruß,
>
> notinX
LG mathfunnel
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