Heine Borel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 30.12.2007 | | Autor: | Phecda |
hi mir ist einfach die aussage von heine borel schleierhaft
M ist kompakt, wenn jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Man versteht unter einer offenen Überdeckung von A eine Menge von offenen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] mit der Eigenschaft, dass A in der Vereinigung dieser offenen Teilmenge enthalten ist.
Soweit so gut, die Def. von offene Überdeckung hab ich acuh gepostet, aber mir ist einfach der ganze Kompaktheitsbegriff mit der Heine Borel Eigenschaft unklar. Leider erklärt es jedes Buch auf annähernd die gleiche Art und Weise ....
kann mir jmd bitte versuchen das ganze zu erklären
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Stoecki |
ich versuche mal ne anschauiche erklärung an nem beispiel... schau dir das reelle intervall [0;1] an. die version von heine borel die ich kenne sagt, ist die menge abgeschlossen und beschränkt, ist sie kompakt, wobei wir das was du geschrieben hattest als definition von kompaktheit genommen hatten.
du willst für dieses intervall eine teilüberdeckung haben, die beliebig klein sein darf. und sie soll endlich sein, denn dann hast du kompaktheit. ich fange mal mit der begründung an warum abgeschlossenheit wichtig ist.
angenommen die menge wäre offen. dann könntest du zum beispiel auf ein element als mittelpunkt einen kreis (oder hier ein kleines intervall legen... da dies aber beliebig klein werden können muss, würde es bei einer bestimmten größe den rand nicht mehr erreichen und du könntest zwischen den rand und dem grade eingesetzten intervall wieder so ein intervall legen und es wieder so klein wählen, dass es immernoch elemente zwischen rand und dem überdeckungsintervall gibt.
warum passiert das bei abgeschlossenheit nicht unbedingt... ganz einfach... ich lege ein intervall genau so, dass das mittelpunktselement auf den rand liegt und fange damit schon eine ganze menge von elementen vor dem rand ein ohne dass noch elemente zwischen die überdeckungsmenge und den rand passen... das machst du auch auf er anderen seite.... egal wie klein deine intervalle sind, du brauchst nur noch endlich viele zwischen die beiden randüberdeckungen legen, EGAL wie klein du die mengen wählst.
das klappt natürlich nur wenn du eine beschränkte menge hast, denn sonst kannst du natürlich in minestens eine richtung unendlich weit gehen. ich hoffe dir wird an dem beispiel klar wie es funktioniert. du kannst diese vorgehensweise auf jede kompakt menge gedanklich übertragen... wenn du zum beispiel den einheitskreis nimmst der abgeschlossen ist, dann gehst du halt erst mit deinen elementen einmal rum und überdeckst erst den rand und hast dann nur noch endlich viel im inneren zu überdecken usw...
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