Heaviside-Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:37 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Es sei H(x) die Heaviside - Funktion
Berechne [mm] \integral_{-10}^{\wurzel{8}}{H(x)*x*\wurzel{x^{2}+1}dx} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe verwirrt mich irgendwie voll.Weiß gar nicht wie ich da jetzt vorgehen soll. Kann mir jemand Tipps zur vorgehensweise geben?Es liegt ja ein Produkt vor, kann ich somit mit der Produktregel arbeiten? Hieße ich würde die Heaviside Funktion erst einmal vor das Integral schreiben.
mfg
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] H(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
also ist zu berechnen
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{8}}{x\cdot{}\wurzel{x^{2}+1}dx}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Okay wenn ich da so drüber nachdenke leuchtet mir das ein was du sagst Steffi. DANKE. Hieße ich könnte diese aufgabe jetzt mittels partieller Integration lösen oder?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo RWBK!
Ich würde es eher mit der Substitution $u \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] versuchen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
ich muss doch dann erst einmal die Stammfunktion bestimmenund anschließend dann das Integral mit [mm] \wurzel{8 } [/mm] und 0 berechnen oder?
Ich komme auf folgende Stammfunktion
[mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
Das Endergebnis würde dann meiner Meinung nach 1 lauten oder?
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo RWBK,
> Hallo,
>
> ich muss doch dann erst einmal die Stammfunktion
> bestimmenund anschließend dann das Integral mit [mm]\wurzel{8 }[/mm]
> und 0 berechnen oder?
Bestimme eine Stammfunktion von [mm] $x\cdot{}\sqrt{x^2+1}$ [/mm] und setze dort die Grenzen $0$ (untere) und [mm] $\sqrt{8}$ [/mm] (obere) ein ...
> Ich komme auf folgende Stammfunktion
> [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{x^{2}+1}[/mm]
Nein, leite das doch mal wieder ab, da kommt nicht [mm] $x\cdot{}\sqrt{x^2+1}$ [/mm] raus.
Rechne das doch mal hier mit der von Roadrunner vorgeschlagenen Substitution vor ...
>
> Das Endergebnis würde dann meiner Meinung nach 1 lauten
> oder?
Ich denke, nicht!
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
ich hab das mit der Substitution gemacht!
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{8}}{x*\wurzel{x^{2}+1} dx}
[/mm]
Substitution: [mm] u=x^{2}+1
[/mm]
1du = 2x dx
[mm] \bruch{1}{2x}du [/mm] = dx
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{8}}{x*\wurzel{u} \bruch{1}{2x}du}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\wurzel{8}}{\bruch{1}{2}*\wurzel{u} du}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{x^{2}+1}...
[/mm]
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hab bei den unteren beiden Integralen leider die 0 und die [mm] \wurzel{8} [/mm] vertauscht.
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ich hab das mit der Substitution gemacht!
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{8}}{x*\wurzel{x^{2}+1} dx}[/mm]
>
> Substitution: [mm]u=x^{2}+1[/mm]
> 1du = 2x dx
> [mm]\bruch{1}{2x}du[/mm] = dx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]\integral_{\wurzel{8}}^{0}{x*\wurzel{u} \bruch{1}{2x}du}[/mm]
Was ist hier mit den Grenzen passiert? Wieso hast du die einfach umgedreht?
Entweder du substituierst die Grenzen mit in die Variable u oder rechnest zunächst das unbestimmte Integral in u aus, substituierst das dann zurück in x und nimmst die alten Grenzen in x
>
> [mm]=\integral_{\wurzel{8}}^{0}{\bruch{1}{2}*\wurzel{u} du}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{x^{2}+1}...[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm]\int{\frac{1}{2}\sqrt{u} \ du}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{u^{\frac{1}{2}} \ du}[/mm]
Nun bemühe die Potenzregel für das Integrieren:
[mm]\int{z^r \ dz}=\frac{1}{r+1}z^{r+1}[/mm] (+C) für [mm] $r\neq [/mm] -1$
>
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 24.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
danke für deine Hilfe. Hier jetzt mein korrigiertes Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{3}*(x^{2}+1)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Mein Endergebnisse wäre [mm] dann=\bruch{26}{3}
[/mm]
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo, Stammfunktion und Ergebnis sind jetzt ok, Steffi
|
|
|
|
