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| Aufgabe | Man drücke die Funktion y(t), A [mm] \in \IR [/mm] mit Hilfe der Sprungfunktion [mm] \delta(t) [/mm] bzw. der Rechteckfunktion [mm] R_{1}(t) [/mm] im Definitionsbereich [mm] -\infty \le [/mm] t [mm] \le \infty [/mm] (fallunterscheidungsfrei) aus, für t<0 gilt y(t)=0.
(Skizze als Bild beigefügt, die obere von beiden ist gegeben, die untere ist meine Interpretation) |
Hallo,
Ich habe schon mal meine eigene Interpretation der Funktion gezeichnet. Die vertikalen Verbindungen sind ja nicht zulässig (nicht zu beachten). Im Prinzip habe ich vier Intervalle und vier Funktionsabschnitte. Ich habe ein Problem das auf die Sprungfunktion bzw. Rechteckfunktion zu übertragen. Wie gehe ich denn hier am besten vor? Helfen meine bisherigen Überlegungen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mo 29.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Man drücke die Funktion y(t), A [mm]\in \IR[/mm] mit Hilfe der
> Sprungfunktion [mm]\delta(t)[/mm] bzw. der Rechteckfunktion [mm]R_{1}(t)[/mm]
> im Definitionsbereich [mm]-\infty \le[/mm] t [mm]\le \infty[/mm]
> (fallunterscheidungsfrei) aus, für t<0 gilt y(t)=0.
>
> (Skizze als Bild beigefügt, die obere von beiden ist
> gegeben, die untere ist meine Interpretation)
> Hallo,
>
> Ich habe schon mal meine eigene Interpretation der Funktion
> gezeichnet. Die vertikalen Verbindungen sind ja nicht
> zulässig (nicht zu beachten). Im Prinzip habe ich vier
> Intervalle und vier Funktionsabschnitte. Ich habe ein
> Problem das auf die Sprungfunktion bzw. Rechteckfunktion zu
> übertragen. Wie gehe ich denn hier am besten vor? Helfen
> meine bisherigen Überlegungen?
um ein Quadrat mit Kantenlände 1 im ersten Quadranten (eine Ecke im Urpsprung) als Funktion darzustellen kannst Du folgendes verwenden:
[mm] $f(t)=\delta(t)\delta(1-t)$
[/mm]
Mach Dir klar, dass das die Anforderungen erfüllt. Dann sollte der Rest nicht schwer sein.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Gruß, Andreas
Gruß,
notinX
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> um ein Quadrat mit Kantenlände 1 im ersten Quadranten
> (eine Ecke im Urpsprung) als Funktion darzustellen kannst
> Du folgendes verwenden:
> [mm]f(t)=\delta(t)\delta(1-t)[/mm]
Wie kommt man denn darauf? Ich verstehe gar nichts gerade.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Di 30.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > um ein Quadrat mit Kantenlände 1 im ersten Quadranten
> > (eine Ecke im Urpsprung) als Funktion darzustellen kannst
> > Du folgendes verwenden:
> > [mm]f(t)=\delta(t)\delta(1-t)[/mm]
>
> Wie kommt man denn darauf? Ich verstehe gar nichts gerade.
vielleicht sollte man sagen, dass das Quadrat weder ein offenes noch ein
geschlossenes ist, oder dass man eine quadratische Fläche meint, die
man zwischen [mm] $f\,$ [/mm] und der x-Achse findet. (Die Funktion beschreibt
natürlich weder ein abgeschlossenes Quadrat [mm] $\subseteq \IR^2$ [/mm] noch den ganzen
"umschließenden Polygonzug" eines solchen!)
Sagen wir es mal so: Die quadratische Fläche wird durch den 'Polygonzug'
$$(0,0) [mm] \to [/mm] (1,0) [mm] \to [/mm] (1,1) [mm] \to [/mm] (0,1) [mm] \to [/mm] (0,0)$$
umgeben, und "Teile" dieses Polygonzuges dürfen dabei wegfallen -
müssen sie teilweise auch, denn andernfalls hätten wir mit dem Begriff
"Funktion" oben unserer Probleme. (Es gibt auch "Teile des Polygonzugs",
die nicht wegfallen dürfen, sofern wir etwa [mm] $f\,$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert haben wollen.)
(Vielleicht gibt's auch gängigere oder bessere Notationen für Polygonzüge,
aber ich denke, es ist klar, wie ich den obigen (einfach geschlossenen)
Polygonzug meine!)
Wie findet man sowas? Naja, bspw. kann man
[mm] $$g(x)=\mathds{1}_{\red{(}0,1\red{)}}(x)\;\;\;\;\;\text{für alle }x \in \IR$$
[/mm]
setzen: Dann gilt $g(x)=0$ für $x [mm] \notin [/mm] (0,1)$ (da gibt's also keine Fläche
zwischen dem Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] und der x-Achse in diesem Bereich, also
"außerhalb" von $(0,1)$) - und es gilt $g(x)=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ nach
Definition der  Indikatorfunktion.
Zeichne Dir mal diesen Graphen, und Du erkennst "das erwähnte Quadrat",
zu welchem Du auf jeden Fall nicht die Strecke [mm] $\overline{(0,0)^T,\;(0,1)^T}$ [/mm] zählen darfst
(im Sinne, dass diese Strecke nicht als Teilmenge des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm]
aufgefasst werden darf) - analoges gilt für die Strecke [mm] $\overline{(1,0)^T,\;(1,1)^T}\,.$
[/mm]
Dass das Quadrat, das durch [mm] $\mathds{1}_{\red{(}0,1\red{)}}$ [/mm] beschrieben wird, dann erstmal
"links-ganz-offen" und "rechts-ganz-offen"- bis auf die unteren Eckpunkte
- erscheint, interessierte aber auch jedenfalls etwa nicht, wenn es nur um
den Flächeninhalt dieser (quadratischen) Menge ginge.
Und wenn Dir nun das obige klar ist, dann beweise, dass mit
[mm] $$f(t)=\delta(t)*\delta(1-t)$$
[/mm]
eben [mm] $f=\mathds{1}_{\red{[}0,1\red{]}}$ [/mm] gilt (beachte, dass diese Indikatorfunktion minimal
anders ist als die, die ich oben erwähnte), d.h. rechne nach:
[mm] $f(t)=0\,$ [/mm] genau dann, wenn $x [mm] \notin [/mm] [0,1]$ und genau für $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgt [mm] $f(t)=1\,.$
[/mm]
Und warum kam man auf diese komische Idee, da ein "Delta-Produkt" zu
schreiben?
Es ist halt $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ genau dann, wenn $1-t [mm] \in [/mm] [0,1]$ ist und Du kannst damit
nachrechnen, dass für $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
$$r [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \iff \delta(r)*\delta(1-r)=1$$
[/mm]
und
$$r [mm] \in \IR \setminus [/mm] [0,1] [mm] \iff \delta(r)*\delta(1-r)=0\,.$$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $\mathds{1}_{[0,1]}(\,\bullet\,)=\delta(\,\bullet\,)*\delta(1\,-\,\bullet)$!
[/mm]
(Du kannst anstatt [mm] $\bullet$ [/mm] meinetwegen auch wieder eine Variable, etwa
[mm] $t\,,$ [/mm] als Platzhalter schreiben und die Funktion(en) entsprechend
interpretieren...)
P.S. Es kann durchaus sein, dass ich hier mal irgendwo [mm] $1]\,$ [/mm] schreibe, aber
die Aussage nur etwa für [mm] $1)\,$ [/mm] richtig wäre. Ich hatte mich da
verschrieben, und vielleicht die ein oder andere Korrektur übersehen!Für
jeden Hinweis dahingehend bin ich natürlich dankbar, ebenso, wenn jmd.
es kontrolliert hat und keine solchen komischen Verschreiber hier findet.
Sollte es dennoch noch welche geben, dann bitte einfach drüber
nachdenken, und nicht an sich selbst zweifeln oder sich davon verwirren
lassen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Calculu |
Hattet ihr schon Faltung?
Du könntest zB mit der Dreiecksfunktion arbeiten, die entsteht aus der Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst und ist so definiert:
[mm] \begin{cases} 1-|t|, & \mbox{für } |t| \mbox{ <1} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Hierzu musst du dir überlegen wie sich diese verschieben lässt, was aber recht anschaulich geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Also Faltung hatten wir offiziell noch nicht. Aber das was wir rechnen und das was wir schon in der Vorlesung behandelt haben, sind in diesem Semester zwei verschiedene paar Schuhe. Ich bin gespannt, wie unser Tutor das morgen löst.
Gruß, Andreas
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> Ich bin gespannt, wie unser Tutor das morgen löst.
Wir auch !
Berichte uns dann bitte davon !
good night
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
So ich habe Euch nicht vergessen 
Hier kommt die (richtige) Lösung:
Schritt 1) Geradengleichungen aufstellen
[mm] g_{1}: [/mm] f(t)=0
[mm] f(3)=3=\bruch{3}{2}*3+b
[/mm]
b=-1,5
[mm] g_{2}: f(t)=\bruch{3}{2}t-1,5
[/mm]
[mm] f(7)=3=-\bruch{3}{2}*7+b
[/mm]
b=13,5
[mm] g_{3}: f(t)=-\bruch{3}{2}t+13,5
[/mm]
[mm] g_{4}: [/mm] f(t)=0
Schritt 2) Aufstellen der Sprungfunktion
[mm] f(t)=(\bruch{3}{2}t-1,5)*(\delta(t-3)-\delta(t-5))+(-\bruch{3}{2}t+13,5)(\delta(t-5)-\delta(t-7))
[/mm]
Unser Tutor hat es uns so erklärt, dass wir die Sprungfunktion immer an- und ausschalten müssen. Also z.B. bei t=3 an, bei t=5 aus.
Schritt 3) Aufstellen der Rechteckfunktion
[mm] f(t)=(\bruch{3}{2}t-1,5)*R_{1}(t-3)+(-\bruch{3}{2}t+13,5)*R_{1}(t-5)
[/mm]
Die Rechteckfunktion hingegen muss man nicht ausschalten. Also nur immer jeweils an bei t=3 und t=5.
Ich hoffe es ist verständlich.
Lieben Gruß, Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> So ich habe Euch nicht vergessen
>
> Hier kommt die (richtige) Lösung:
>
> Schritt 1) Geradengleichungen aufstellen
>
> [mm]g_{1}:[/mm] f(t)=0
>
> [mm]f(3)=3=\bruch{3}{2}*3+b[/mm]
>
> b=-1,5
>
> [mm]g_{2}: f(t)=\bruch{3}{2}t-1,5[/mm]
>
> [mm]f(7)=3=-\bruch{3}{2}*7+b[/mm]
>
> b=13,5
>
> [mm]g_{3}: f(t)=-\bruch{3}{2}t+13,5[/mm]
>
> [mm]g_{4}:[/mm] f(t)=0
>
>
> Schritt 2) Aufstellen der Sprungfunktion
>
> [mm]f(t)=(\bruch{3}{2}t-1,5)*(\delta(t-3)-\delta(t-5))+(-\bruch{3}{2}t+13,5)(\delta(t-5)-\delta(t-7))[/mm]
>
> Unser Tutor hat es uns so erklärt, dass wir die
> Sprungfunktion immer an- und ausschalten müssen. Also z.B.
> bei t=3 an, bei t=5 aus.
ja klar, sowas wie:
[mm] $$\delta(t-3)-\delta(t-5)=\begin{cases} 1-1=0, & \mbox{für }t \ge 5 \\ 1-0=1, & \mbox{für } t \in [3,5)\\0-0=0, & \mbox{für } t < 3\end{cases}$$
[/mm]
meinst Du, anders gesagt:
Mit $u [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $u(t):=\delta(t-3)-\delta(t-5)$ [/mm] gilt
[mm] $$u=\mathds{1}_{[3,5)}\,.$$
[/mm]
P.S. Sag' Deinem Tutor doch, es wäre übersichtlicher, die Indikatorfunktion
zu verwenden. 
Gruß,
Marcel
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Mittels der Funktion [mm] R_1 [/mm] und der Absolutfunktion
komme ich beispielsweise auf folgende Darstellung:
$\ u:=\ [mm] \left|\frac{t-5}{2}\right|$
[/mm]
$\ y:=\ [mm] 3*(2-u)*R_1(u)$
[/mm]
Man kann die beiden Formeln natürlich auch zu
einer einzigen verschachteln ...
LG , Al-Chw.
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