Hausdorffsche topo. Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 26.11.2008 | | Autor: | arne83 |
| Aufgabe | Seien $X$ und $Y$ zwei Hausdorffsche topologische Räume, und sei $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine stetige Abbildung.
Zeige: Ist $X$ kompakt und [mm] $Y=\mathbb{R}$, [/mm] so nimmt $f$ auf $X$ sein Supremum an. |
Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß Arne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] zwei Hausdorffsche topologische Räume, und
> sei [mm]f : X \to Y[/mm] eine stetige Abbildung.
>
> Zeige: Ist [mm]X[/mm] kompakt und [mm]Y=\mathbb{R}[/mm], so nimmt [mm]f[/mm] auf [mm]X[/mm]
> sein Supremum an.
Ich nehme an, dass Y = [mm] \IR [/mm] mit der metrischen Topologie, die der Betrag erzeugt, ausgestattet ist.
Du weißt sicher, dass stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind, also ist f(X) eine kompakte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Aus der Analysis I weißt Du dann, dass f(X) ein Minimum und ein Maximum hat.
FRED
> Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> Gruß Arne
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