Hauptwert < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich soll von beiden komplexen Zahlen den Hauptwert berechnen:
[mm] z_{1}=-8^{j}
[/mm]
[mm] z_{2}=j^{2j+4}
[/mm]
Mir fehlt den Ansatz. Ich schreibe mal auf, was ich weiß:
Die Form ist: [mm] z=r*e^{j( \alpha +k*2 \pi)}
[/mm]
[mm] z_{2}=j^{2j+4}=j^{2j}*j^{4}=j^{2j}*1=j^{2j}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Bei dem Wort Hauptwert denke ich sofort an den LN, dort erhält man für k=0 den Hauptwert. Aber ist der hier gefragt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie ist denn [mm] 8^i [/mm] definiert? vielleicht kommt da ja dein ln vor?
gruss leduart
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Wenn ich die Potenzgesetze ohne weiteres im Komplexen anwenden darf müsste das [mm] \bruch{j(\alpha+k*2*\pi)}{-log8} [/mm] sein, wobei [mm] \alpha+k*2*\pi=1. [/mm] Oder?
Der Hauptwert für den LN ist aber folgendermaßen definiert:
Ln(z)=ln r + [mm] j*\alpha [/mm] , für k=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn ich die Potenzgesetze ohne weiteres im Komplexen
> anwenden darf müsste das [mm]\bruch{j(\alpha+k*2*\pi)}{-log8}[/mm]
was meinst du mit "das" müsste sein?
schreibe [mm] 8^i [/mm] um das ist nicht [mm]\bruch{j(\alpha+k*2*\pi)}{-log8}[/mm]
> sein, wobei [mm]\alpha+k*2*\pi=1.[/mm] Oder?
ich weiss nicht genau, was du gemacht hast.
gruss leduart
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[mm] z_{1}=-8^{j}
[/mm]
[mm] =-2^{3j}
[/mm]
[mm] =-2^{0+3j}
[/mm]
[mm] =-2^{0}*(-2^{3j})
[/mm]
[mm] ln(z_{1})=0+3j (\alpha [/mm] +k*2* [mm] \pi)
[/mm]
[mm] \alpha= [/mm] arctan [mm] (\bruch{0}{3})=0
[/mm]
Den Hauptwert erhalte ich für k=0. Nur erhalte ich dann:
[mm] Ln(z_{1})=0
[/mm]
Ich denke nicht, dass das richtig ist. Was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Der Hauptwert von [mm] a^b [/mm] ist gegeben durch
[mm] e^{b*Log(a)},
[/mm]
wobei Log der Hauptzweig des komplexen Logarithmus ist.
FRED
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[mm] -8^{j} [/mm] ist also = [mm] e^{-j(Log8)}
[/mm]
Ist das richtig?
Wie komme ich denn auf diese Schreibweise? Oder ist das eine allgemeingültige Definition die man sich einfach merken sollte?
> Der Hauptwert von [mm]a^b[/mm] ist gegeben durch
>
> [mm]e^{b*Log(a)},[/mm]
>
> wobei Log der Hauptzweig des komplexen Logarithmus ist.
>
> FRED
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Hallo MAthe-Andi,
> [mm]-8^{j}[/mm] ist also = [mm]e^{-j(Log8)}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein, [mm]-8^j=-e^{j\operatorname{Log}(8)}[/mm]
Und [mm]\operatorname{Log}(8)=\ln(8)+j\operatorname{arg}(8)=\ln(8)+0=3\ln(2)[/mm]
Also [mm]-8^j=-e^{3j\ln(2)}[/mm]
>
> Wie komme ich denn auf diese Schreibweise? Oder ist das
> eine allgemeingültige Definition die man sich einfach
> merken sollte?
Ja,so ist das definiert: für [mm]z,\alpha\in\IC, z\neq 0[/mm] ist
[mm]z^{\alpha}=e^{\alpha\cdot{}\operatorname{Log}(z)}[/mm], wobei [mm]\operatorname{Log}(z)[/mm] der Hauptwert des komplexen Logarithmus meint.
>
> > Der Hauptwert von [mm]a^b[/mm] ist gegeben durch
> >
> > [mm]e^{b*Log(a)},[/mm]
> >
> > wobei Log der Hauptzweig des komplexen Logarithmus ist.
Da steht's ja auch 
> >
> > FRED
>
Gruß
schachuzipus
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Ok, das hatte ich bisher noch nicht in meinen Unterlagen stehen. Habe es gleich dort aufgenommen.
Dann lautet der gesuchte Hauptwert für [mm] z_{1}=-8^j [/mm] also [mm] -e^{3j*Ln(2)} [/mm] ? Oder muss ich mit diesem Ausdruck noch weiter rechnen?
Analog dazu habe ich den Hauptwert für [mm] z_{2}=j^{2j+4} [/mm] formuliert:
[mm] z_{2}=j^{2j}*j^{4}=j^{2j}*1=j^{2j}
[/mm]
[mm] j^{2j}=e^{2j*Log(j)}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Mathe-Andi,
> Ok, das hatte ich bisher noch nicht in meinen Unterlagen
> stehen. Habe es gleich dort aufgenommen.
>
> Dann lautet der gesuchte Hauptwert für [mm]z_{1}=-8^j[/mm] also
> [mm]-e^{3j*Ln(2)}[/mm] ? Oder muss ich mit diesem Ausdruck noch
> weiter rechnen?
>
Das ist schon der gesuchte Hauptwert.
> Analog dazu habe ich den Hauptwert für [mm]z_{2}=j^{2j+4}[/mm]
> formuliert:
>
> [mm]z_{2}=j^{2j}*j^{4}=j^{2j}*1=j^{2j}[/mm]
>
> [mm]j^{2j}=e^{2j*Log(j)}[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Bis hierher ist das richtig.
Jetzt ist noch Log(j) zu berechnen.
Gruss
MathePower
>
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[mm] e^{2j*Log(j)}
[/mm]
Ich habe folgendes aufgeschrieben:
Log(j)=ln(1)+j*arg(j)
Ich weiß nicht, was ich für j*arg(j) setzen soll. Ich verstehe auch nicht ganz, warum das bei Log(8) von [mm] z_{1} [/mm] von j*arg(8) zu 0 wird. Welcher Schritt führt dazu?
Ganze Zeile:
Log(8)=ln(8)+j*arg(8)=ln(8)+0
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Hallo Mathe-Andi,
> [mm]e^{2j*Log(j)}[/mm]
>
> Ich habe folgendes aufgeschrieben:
>
> Log(j)=ln(1)+j*arg(j)
>
> Ich weiß nicht, was ich für j*arg(j) setzen soll. Ich
> verstehe auch nicht ganz, warum das bei Log(8) von [mm]z_{1}[/mm]
> von j*arg(8) zu 0 wird. Welcher Schritt führt dazu?
>
"8" ist eine reelle Zahl, daher das Argument 0.
Da "j" eine komplexe Zahl ist, lautet das Argument [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Ganze Zeile:
>
> Log(8)=ln(8)+j*arg(8)=ln(8)+0
>
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Do 08.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Mathe-Andi,
>
> > [mm]e^{2j*Log(j)}[/mm]
> >
> > Ich habe folgendes aufgeschrieben:
> >
> > Log(j)=ln(1)+j*arg(j)
> >
> > Ich weiß nicht, was ich für j*arg(j) setzen soll. Ich
> > verstehe auch nicht ganz, warum das bei Log(8) von [mm]z_{1}[/mm]
> > von j*arg(8) zu 0 wird. Welcher Schritt führt dazu?
> >
>
Es ist [mm] $\log [/mm] w = z=x+jy$ genau dann, wenn
(i) $z [mm] \in [/mm] S = [mm] \{x+jy\colon x\in \IR, -\pi < y < \pi\}$
[/mm]
(ii) [mm] $e^z [/mm] = w$
Für [mm] $w\in \IC^- [/mm] = [mm] \IC\setminus (-\infty, [/mm] 0]$ gibt es genau ein $z$, das die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt. Und dieses $z$ ist der Hauptwert des Logarithmus von $w$.
Für [mm] $w\in \IC^-, u\in \IC$ [/mm] ist nun laut Definition [mm] $w^u [/mm] = [mm] e^{u \log w}$.
[/mm]
>
> "8" ist eine reelle Zahl, daher das Argument 0.
Für reelle $x>0$ ist [mm] $\log [/mm] x = [mm] \ln [/mm] x$, wobei [mm] $\ln$ [/mm] der natürliche Logarithmus ist. Der Hauptzweig des Logarithmus ist die Fortsetzung des natürlichen Logarithmus auf die geschlitzte komplexe Ebene [mm] $\IC^-\;.$
[/mm]
Daher ist [mm] $\log [/mm] 8 = [mm] \ln [/mm] 8 = [mm] \ln 2^3 [/mm] = 3* [mm] \ln [/mm] 2$.
Für [mm] $x\le [/mm] 0$ ist dagegen [mm] $\log [/mm] x$ gar nicht definiert, da [mm] $x\notin \IC^-$.
[/mm]
>
> Da "j" eine komplexe Zahl ist, lautet das Argument
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
Da [mm] $e^{j\pi/2} [/mm] = j$ ist und [mm] $j\pi/2 \in [/mm] S$, ist [mm] $\log [/mm] j = [mm] j\pi/2$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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>
> Da [mm]e^{j\pi/2} = j[/mm]
Das wusste ich auch nicht bzw. habe es in dieser eindeutigen Form noch nicht gesehen.
Also ist
[mm] e^{2j*Log(j)}=e^{2j* \bruch{j* \pi}{2}}
[/mm]
dann kann ich das doch noch zusammenfassen:
[mm] =e^{j^{2}*\pi}
[/mm]
kann ich dann nicht auch [mm] j^{2}=-1 [/mm] setzen und schreiben
[mm] =e^{-\pi}
[/mm]
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Do 08.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> >
> > Da [mm]e^{j\pi/2} = j[/mm]
>
> Das wusste ich auch nicht bzw. habe es in dieser
> eindeutigen Form noch nicht gesehen.
>
> Also ist
>
> [mm]e^{2j*Log(j)}=e^{2j* \bruch{j* \pi}{2}}[/mm]
>
> dann kann ich das doch noch zusammenfassen:
>
> [mm]=e^{j^{2}*\pi}[/mm]
>
> kann ich dann nicht auch [mm]j^{2}=-1[/mm] setzen und schreiben
>
> [mm]=e^{-\pi}[/mm]
Genau!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mathe-Andi,
> >
> > > [mm]e^{2j*Log(j)}[/mm]
> > >
> > > Ich habe folgendes aufgeschrieben:
> > >
> > > Log(j)=ln(1)+j*arg(j)
> > >
> > > Ich weiß nicht, was ich für j*arg(j) setzen soll. Ich
> > > verstehe auch nicht ganz, warum das bei Log(8) von [mm]z_{1}[/mm]
> > > von j*arg(8) zu 0 wird. Welcher Schritt führt dazu?
> > >
> >
>
> Es ist [mm]\log w = z=x+jy[/mm] genau dann, wenn
>
> (i) [mm]z \in S = \{x+jy\colon x\in \IR, -\pi < y < \pi\}[/mm]
>
> (ii) [mm]e^z = w[/mm]
>
> Für [mm]w\in \IC^- = \IC\setminus (-\infty, 0][/mm] gibt es genau
> ein [mm]z[/mm], das die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt. Und
> dieses [mm]z[/mm] ist der Hauptwert des Logarithmus von [mm]w[/mm].
>
> Für [mm]w\in \IC^-, u\in \IC[/mm] ist nun laut Definition [mm]w^u = e^{u \log w}[/mm].
>
> >
> > "8" ist eine reelle Zahl, daher das Argument 0.
>
> Für reelle [mm]x>0[/mm] ist [mm]\log x = \ln x[/mm], wobei [mm]\ln[/mm] der
> natürliche Logarithmus ist. Der Hauptzweig des Logarithmus
> ist die Fortsetzung des natürlichen Logarithmus auf die
> geschlitzte komplexe Ebene [mm]\IC^-\;.[/mm]
>
> Daher ist [mm]\log 8 = \ln 8 = \ln 2^3 = 3* \ln 2[/mm].
>
> Für [mm]x\le 0[/mm] ist dagegen [mm]\log x[/mm] gar nicht definiert, da
> [mm]x\notin \IC^-[/mm].
Das stimmt aber nicht ! Jede komplexe Zahl z [mm] \ne [/mm] 0 hat Logarithmen !
Der Hauptzweig Log ist auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] definiert. Stetig ist er nur auf [mm] \IC^-
[/mm]
FRED
>
> >
> > Da "j" eine komplexe Zahl ist, lautet das Argument
> > [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Da [mm]e^{j\pi/2} = j[/mm] ist und [mm]j\pi/2 \in S[/mm], ist [mm]\log j = j\pi/2[/mm].
>
> Gruß,
> Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Für [mm]x\le 0[/mm] ist dagegen [mm]\log x[/mm] gar nicht definiert, da
> > [mm]x\notin \IC^-[/mm].
>
> Das stimmt aber nicht ! Jede komplexe Zahl z [mm]\ne[/mm] 0 hat
> Logarithmen !
Stimmt.
> Der Hauptzweig Log ist auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm] definiert.
Stimmt nicht (immer). Zum Beispiel in Königsberger Analysis I wird der Hauptzweig des Logarithmus auf die geschlitzte Ebene eingeschränkt.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > > Für [mm]x\le 0[/mm] ist dagegen [mm]\log x[/mm] gar nicht definiert, da
> > > [mm]x\notin \IC^-[/mm].
> >
> > Das stimmt aber nicht ! Jede komplexe Zahl z [mm]\ne[/mm] 0 hat
> > Logarithmen !
>
> Stimmt.
>
> > Der Hauptzweig Log ist auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm] definiert.
>
> Stimmt nicht (immer). Zum Beispiel in Königsberger
> Analysis I wird der Hauptzweig des Logarithmus auf die
> geschlitzte Ebene eingeschränkt.
Dann ist Königsberger der einzige , der das so macht !
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> >
> > > > Für [mm]x\le 0[/mm] ist dagegen [mm]\log x[/mm] gar nicht definiert, da
> > > > [mm]x\notin \IC^-[/mm].
> > >
> > > Das stimmt aber nicht ! Jede komplexe Zahl z [mm]\ne[/mm] 0 hat
> > > Logarithmen !
> >
> > Stimmt.
> >
> > > Der Hauptzweig Log ist auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm] definiert.
> >
> > Stimmt nicht (immer). Zum Beispiel in Königsberger
> > Analysis I wird der Hauptzweig des Logarithmus auf die
> > geschlitzte Ebene eingeschränkt.
>
> Dann ist Königsberger der einzige , der das so macht !
Nein, auch Remmert, Funktionentheorie 1. In der Anaysis ist offensichtlich alles, was nicht (fast überall) stetig ist, keine Funktion. So schreibt Remmert:
In [mm] $C^\times$ [/mm] existieren keine Logarithmusfunktionen.
Wir beide wissen es besser.
Gruß,
Wolfgang
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