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| Aufgabe | Gegeben seien der Endomorphismus in [mm] \IR^3 [/mm] durch ihre Matrixdarstellung (bzgl. der kanonischen Basis)
[mm] C=\pmat{ -4 & 1 & 4 \\ 2 & -2 & -3 \\ -3 & 1 & 3 }
[/mm]
Berechnen Sie zu dieser gegebenen Matrix die Hauptvektorbasis in [mm] \IR^3 [/mm] und geben Sie die Matrixdarstellung bzgl. der jeweiligen Hauptvektorbasis an. |
Hallo Ihr.
Also ich erläutere mal mein Vorgehen:
1. char. Polynom ist klar
[mm] p_C(x)=(x+1)^3
[/mm]
2. 1 EW x=-1 mit alg. Vielfachheit [mm] \mu(-1)=3
[/mm]
3. [mm] (-I_3-C)=\pmat{ 3 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -4 }=..=\pmat{ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
somit geom. Vielfachheit [mm] \nu(-1)=1
[/mm]
4. EV bestimmen [mm] x_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
5. bilde [mm] (-I_3-C)^2=\pmat{ -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
WIE bestimme ich jetzt 2 beliebige Hauptvektoren???
Ich hatte folgende Idee:
HV zu [mm] (-I_3-C)^2 [/mm] sind [mm] x_1=\vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] x_2=\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
jetzt bilde ich [mm] C*x_1=\vektor{0\\-1\\0}=-x_2 [/mm] und [mm] C*x_2=\vektor{1\\-2\\1}=x_1-2x_2
[/mm]
erhalte eine Blockmatrix [mm] C_1=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & -2 }
[/mm]
wobei [mm] (C_1+I_2) [/mm] nilpotent
das selbe mit EV [mm] x_1 [/mm] : [mm] C*x_1=\vektor{1\\-1\\1}=-x_1
[/mm]
somit [mm] C_2=\pmat{-1}
[/mm]
zusammensetzen [mm] Q=\pmat{ C_1 & 0 \\ 0 & C_2 }=\pmat{ 0 & 1 & 0\\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
IST das die gesuchte Matrix???
Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende wünscht Röby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 27.05.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo zusammen...
Also, denke mal dass ich ein bisschen weiter gekommen bin...
Da -1 der einzige EW mit alg. Vielfachheit 3 ist, so kann man [mm] V=\IR^3 [/mm] schreiben als...
[mm] \IR^3=Kern((-I_3-C)^3)=Kern(0_3)
[/mm]
also sind die HV beliebig, aber sie dürfen keine EV zu -1 sein oder [mm] (-I_3-C)^2*x=0 [/mm] sein
[mm] (-I_3-C)=..=\pmat{ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] (-I_3-C)^2=..=\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wähle z.B. folgende HV aus, die die Bedingung erfüllen...
[mm] x_1=\vektor{0\\1\\1} x_2=\vektor{1\\1\\0} x_3=\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
somit wäre [mm] S=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 } [/mm] und [mm] S^{-1}=\br{1}{3}*\pmat{ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 }
[/mm]
Aber wenn man [mm] S^{-1}*C*S [/mm] berechnet, kommt keine sinnvolle Matrix raus...
Wo liegt denn mein (Denk-)Fehler...
Vielen Dank für eure Hilfe und schöne Pfingsten
Tschüß sagt Röby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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