Hauptsatz d Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | F(x)=[mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}=\integral_{0}^{x}{\bruch{sin x}{x(1+x^2)} dx}[/mm]
a) geben Sie die Ableitung f(x) der Funktion F(x) an. |
Mein Ansatz:
[mm]F(x) = \integral_{0}^{x}{g(x) dx}= G (x) - G (0) [/mm]
also
[mm]f(x)=G' (x) - G' (0) = g(x) - g(0) = \bruch{sin x}{x(1+x^2)}- \bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm]
Da bei [mm]g(0)=\bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm] durch Null geteilt wird geht das nicht, trotzdem ist die Funktion differenzierbar. In der Lösung steht f(x)=g(x) .
Ich habe dann probehalber g(0) durch den limes ersetzt, aber auch da fällt es nicht weg.
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x(1+x^2)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1+3x^2)}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-sin x}{6x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-cos x}{6}=\bruch{-cos 0}{6}=\bruch{-1}{6}[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen wie man dieses g(0) zum verschwinden bringt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> F(x)=[mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}=\integral_{0}^{x}{\bruch{sin x}{x(1+x^2)} dx}[/mm]
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> a) geben Sie die Ableitung f(x) der Funktion F(x) an.
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> Mein Ansatz:
>
> [mm]F(x) = \integral_{0}^{x}{g(x) dx}= G (x) - G (0)[/mm]
>
> also
>
> [mm]f(x)=G' (x) - G' (0) = g(x) - g(0) = \bruch{sin x}{x(1+x^2)}- \bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm]
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> Da bei [mm]g(0)=\bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm] durch Null geteilt wird
> geht das nicht, trotzdem ist die Funktion differenzierbar.
> In der Lösung steht f(x)=g(x) .
>
> Ich habe dann probehalber g(0) durch den limes ersetzt,
> aber auch da fällt es nicht weg.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x(1+x^2)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1+3x^2)}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-sin x}{6x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-cos x}{6}=\bruch{-cos 0}{6}=\bruch{-1}{6}[/mm]
>
> Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen wie man dieses
> g(0) zum verschwinden bringt?
Es ist also
$g(x)= [mm] \bruch{sin x}{x(1+x^2)}$
[/mm]
Du weißt sicher, dass [mm] $u(x):=\bruch{sin x}{x} [/mm] stetig fortsetzbar ist in x=0: [mm] \bruch{sin x}{x} \to [/mm] 1 (x [mm] \to [/mm] 0)
Setze also
u(x)= [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und u(0):=1
Dann ist u stetig auf [mm] \IR [/mm] und damit ist auch g stetig auf [mm] \IR.
[/mm]
Setzt man nun
$F(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt},$
[/mm]
so besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnug: F ist differenzierbar und
F'(x)=g(x)
FRED
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