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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Di 25.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Bestimmen Sie den Hauptraum und die Jordansche Normalform der Matrix
A = [mm] \pmat{1&4&2&1 \\ 0&1&2&-1 \\ 0&0&1&-3\\ 0&0&0&-1}
[/mm]
Ich habe hier die Lösung und daher müsst ihr auch nichts nachrechnen, aber im Verständnis harperts bei mir, ich hoffe, ihr könnt mir die beantworten.
Es ist [mm] p_A(t) [/mm] = [mm] (t-1)^3(t+1)
[/mm]
=> [mm] t_{1,2,3} [/mm] = 1
[mm] t_4 [/mm] = -1
Hau(A;-1) = Eig(A;-1) = span((0,-2,3,2))
Hau(A; 1) = Eig(A;1)
Es ist [mm] (A-E_4)^3 [/mm] = [mm] \pmat{0&0&0&0 \\ 0 & 0&0&8 \\ 0&0&0&-12\\0&0&0&-8}
[/mm]
=> Hau(A;1) = span( (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))
Aber jetzt kommt das, was mich so verwirrt
Für die Berechnung der JNF ist eine andere Wahl der Hauptraumvektoren nötig
Warum das denn????
Hau(A;1) = span( (1,0,0,0), (0, 1/4 , 0,0), (0, -1/16 , 1/8 ,0))
Und wie hat man die ermittelt???
Dann ist B = [mm] \pmat{1&0&0&0 \\0 & 1/4 & -1/16 & -2 \\ 0& 0& 1/8 & 3 \\ 0&0&0&2 }
[/mm]
=> B^(-1)
B^(-1)AB = ...
So, also warum brauchen wir neue Hauptvektoren? Was ist an den denn anders als bei den alten? Ich dachte erst an Normierung, aber so komme ich auch auf keinen Zweig.
Danke euch schon mal ganz lieb für die Hilfe
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> Bestimmen Sie den Hauptraum und die Jordansche Normalform
> der Matrix
>
> A = [mm]\pmat{1&4&2&1 \\ 0&1&2&-1 \\ 0&0&1&-3\\ 0&0&0&-1}[/mm]
>
> Es ist [mm]p_A(t)[/mm] = [mm](t-1)^3(t+1)[/mm]
>
> => [mm]t_{1,2,3}[/mm] = 1
> [mm]t_4[/mm] = -1
>
> Hau(A;-1) = Eig(A;-1) = span((0,-2,3,2))
>
> Hau(A; 1) = Eig(A;1)
Hallo,
das stimmt ja nicht.
Der Hauptraum kern [mm] (A-1*E)^3=span( [/mm] (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)),
kern [mm] (A-1*E)^2=span( [/mm] (1,0,0,0),(0,1,0,0))
der Eigenraum kern (A-1*E)=span( (1,0,0,0)).
Hieraus weißt Du bereits, daß [mm] \pmat{1&1&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1} [/mm] die gesuchte JNF ist.
>
> Es ist [mm](A-E_4)^3[/mm] = [mm]\pmat{0&0&0&0 \\ 0 & 0&0&8 \\ 0&0&0&-12\\0&0&0&-8}[/mm]
>
> => Hau(A;1) = span( (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))
>
> Aber jetzt kommt das, was mich so verwirrt
>
> Für die Berechnung der JNF ist eine andere Wahl der
> Hauptraumvektoren nötig
>
> Warum das denn????
Hast Du mal ausgerechnet, was Du erhältst, wenn Du die obige Basis verwendest? Bekommst Du damit die JNF?
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Ich bestimme die Jordanbasis immer so:
Aus kern [mm] (A-1*E)^3 [/mm] einen Vektor v nehmen, der nicht in kern [mm] (A-1*E)^2 [/mm] ist.
Es ist dann (kern [mm] (A-1*E)^2*v,kern [/mm] (A-1*E)*v,v) ergänzt durch den Eigenvektor zu -1 eine Jordanbasis.
---
>
> Hau(A;1) = span( (1,0,0,0), (0, 1/4 , 0,0), (0, -1/16 , 1/8
> ,0))
>
> Und wie hat man die ermittelt???
Schaust Du Dir die JNF an, so siehst Du, daß der erste Vektor ein Eigenvektor zu 1 sein muß, also [mm] v_1:=\vektor{1\\0\\0\\0}.
[/mm]
Für den zweiten Vektor [mm] v_2 [/mm] muß gelten:
[mm] Av_2=v_1+1*v_2 [/mm] <==> [mm] (A-E)v_2=v_1.
[/mm]
Eine Lösung dieses GSs ist [mm] \vektor{0\\ \bruch{1}{4}\\0\\0}.
[/mm]
Für den dritten muß gelten:
[mm] Av_3=v_2+1*v_3 [/mm] <==> [mm] (A-E)v_3=v_2
[/mm]
Eine Lösung dieses Gleichungssystems ist [mm] \vektor{0\\ -\bruch{1}{16}\\\bruch{1}{8}\\0}
[/mm]
Diese 3 Vektoren werden dann durch einen Eigenvektor von -1 zur Jordanbasis ergänzt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 25.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Hallo
Danke für diese tolle Antwort. Erst hatte ich einen weiteren komplexen Frageartikel geschrieben, aber dann hat sich auf einmal alles durch deine Antwort von selbst erschlossen. Daher riesiges Danke an dich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 01.10.2009 | | Autor: | gnasen |
Hallo, ich habe ein Verständnis Problem mit den Haupträumen und auch auf die Gefahr hin, hier einen alten Thread auszugraben, denke ich, dass die Frage hier ganz gut passt:
Ein Hauptraum wurde bei uns wie folgt definiert:
[mm] Hau(A,\lambda) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} Kern(A-\lambda E)^n
[/mm]
wobei [mm] Kern(A-\lambda E)^n [/mm] die kernsequenz ist.
Ich verstehe allerdings nicht, wie ich dies konkret an einem Bsp wie der Matrix ausrechnen kann.
Ich denke eine Kernsequenz meint:
1. Schritt:
Alle Elemente die auf 0 zeigen (zB 0 und 2)
2. Schritt
Alle Elemente die auf 0 oder 2 zeigen (zB ....)
usw.
Ist das soweit richtig?
Bei der obigen Matrix erhalte ich für den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 das Ergebnis: [mm] \alpha \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] im ersten Schritt.
Würde ich diesen jetzt einsetzen erhalte ich bei:
[mm] \pmat{ 0 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] x = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
nur noch unstimmige Ergebnisse.
Kann mir jemand zeigen, wie es von hier aus weitergeht (falls es soweit richtig ist) ?
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> Hallo, ich habe ein Verständnis Problem mit den
> Haupträumen und auch auf die Gefahr hin, hier einen alten
> Thread auszugraben, denke ich, dass die Frage hier ganz gut
> passt:
>
> Ein Hauptraum wurde bei uns wie folgt definiert:
> [mm]Hau(A,\lambda)[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} Kern(A-\lambda E)^n[/mm]
>
> wobei [mm]Kern(A-\lambda E)^n[/mm] die kernsequenz ist.
Hallo,
erstmal allgemein zur Kernsequenz:
wenn man eine Matrix B hat, dann gilt erstens immer kern B [mm] \subseteq [/mm] kern [mm] B^{2} \subseteq [/mm] kern [mm] B^3 \subseteq [/mm] ...
und zweitens gibt es eine Schwellenpotenz p, ab welcher sich die Kerne nicht mehr unterscheiden, also ein p mit B [mm] \subseteq^{p-1}\not= [/mm] kern [mm] B^p [/mm] und B [mm] \subseteq^p [/mm] = kern [mm] B^{p+1}
[/mm]
Das gilt natürlich auch für die Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E .
Wenn p die besagte Schwellenpotenz ist, dann überlege Dir, daß
[mm]Hau(A,\lambda)[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} Kern(A-\lambda E)^n[/mm]= kern [mm] (A-\lambda E)^p [/mm] richtig ist.
Die Konsequenz: Du mußt so lange die Kerne der Potenzen ausrechnen, bis der Kern zweimal dieselbe Dimension hat.
Wenn zuvor richtig gerechnet wurde, ist dies hier bei p=3 der Fall.
Es ist dann hier
Hau(A,1)=kern [mm] (A-1*E)^3
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Fr 02.10.2009 | | Autor: | gnasen |
Vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Ich habe die Formel immer so interpretiert, dass die Potenz sich auf die Kernabbildung und nicht auf die Matrix darin bezieht.
Sprich [mm] Kern(Kern(Kern(A-\lambdaE)))....
[/mm]
Was definitiv keinen Sinn ergeben hat.
Ich habe jetzt
[mm] H(A,\lambda=1) [/mm] = [mm] Lin(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
[mm] H(A,\lambda=-1) [/mm] = [mm] Lin(\vektor{0 \\ -1 \\ 3/2 \\ 1}
[/mm]
heraus.
Von dort an wiederholen sich die Ergebnisse. Vllt kann mir ja noch jemand auf die Schnelle sagen, ob die Ergebnisse richtig sind, aber ich denke die schauen soweit ganz passend aus.
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> Vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Ich habe
> die Formel immer so interpretiert, dass die Potenz sich auf
> die Kernabbildung und nicht auf die Matrix darin bezieht.
> Sprich [mm]Kern(Kern(Kern(A-\lambdaE)))....[/mm]
> Was definitiv keinen Sinn ergeben hat.
> Ich habe jetzt
> [mm]H(A,\lambda=1)[/mm] = [mm]Lin(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0})[/mm]
Hallo,
das war ja damls auch schon ausgerechnet worden.
>
> [mm]H(A,\lambda=-1)[/mm] = [mm]Lin(\vektor{0 \\ -1 \\ 3/2 \\ 1}[/mm]
>
> heraus.
Wenn [mm] A*\vektor{0 \\ -1 \\ 3/2 \\ 1}=-\vektor{0 \\ -1 \\ 3/2 \\ 1} [/mm] ist, was Du ja nachrechnen kannst, dann stimmt's.
Gruß v. Angela
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