Hauptidealring zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Do 20.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] ein Hauptidealring ist. |
Hallo!
Sei I ein Idael von [mm] $R=\IZ[\sqrt{-2}]$. [/mm]
0.ter Fall:
Ist $I= [mm] \{0 \}$ [/mm] dann muss $I= 0R$ also Hauptideal.
1.ter Fall: Ist [mm] $I\ne [/mm] 0 $, dann [mm] $\exists [/mm] a [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I$. Sei $a$ minimal, mit [mm] $a\ne [/mm] 0 , |a| $ minimal. Dann gibt es ein [mm] $q\in \IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] mit $|z-q| [mm] \le \frac{\sqrt{3}}{2} \gdw [/mm] |a'-qa| [mm] \le \frac{\sqrt{3}}{2}]a] [/mm] < |a| $ , wobei $a' [mm] \in [/mm] I$ beliebig ist.
Es ist $a'-qa [mm] \in [/mm] I$ jedoch $|a'-qa| < |a| [mm] \Rightarrow [/mm] a'-qa= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a'=qa , [mm] \forall a'\in [/mm] I$.
Damit ist $I= aR [mm] \gdw$ [/mm] Hauptideal. Und damit ist jedes Ideal in [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] ein Hauptideal. Dadurch ist [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] ein Hauptidealring.
Wäre sehr dankbar wenn jemand mir sagen kann ob das so in Ordnung ist oder nicht!?
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass [mm]\IZ[\sqrt{-2}][/mm] ein Hauptidealring ist.
> Hallo!
>
>
> Sei I ein Idael von [mm]R=\IZ[\sqrt{-2}][/mm].
>
> 0.ter Fall:
>
> Ist [mm]I= \{0 \}[/mm] dann muss [mm]I= 0R[/mm] also Hauptideal.
>
>
> 1.ter Fall: Ist [mm]I\ne 0 [/mm], dann [mm]\exists a \ne 0 \in I[/mm]. Sei [mm]a[/mm]
> minimal, mit [mm]a\ne 0 , |a|[/mm] minimal.
Das "minimal," kannst du streichen.
> Dann gibt es ein [mm]q\in \IZ[\sqrt{-2}][/mm]
> mit [mm]|z-q| \le \frac{\sqrt{3}}{2} \gdw |a'-qa| \le \frac{\sqrt{3}}{2}]a] < |a|[/mm]
> , wobei [mm]a' \in I[/mm] beliebig ist.
Das hier ist voellig unzusammenhaengend. Was ist $z$?
> Es ist [mm]a'-qa \in I[/mm] jedoch [mm]|a'-qa| < |a| \Rightarrow a'-qa= 0 \Rightarrow a'=qa , \forall a'\in I[/mm].
Du zeigst hier im wesentlichen, dass [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] ein euklidischer Ring ist und hast das in den Beweis integriert, dass euklidische Ringe Hauptidealbereiche sind. Hattet ihr euklidische Ringe schon? Dann solltest du dich hier darauf beschraenken zu zeigen, dass [mm] $\IZ[\sqrt{-2}]$ [/mm] euklidisch ist, und dann auf das Resultat aus der VL verweisen welches besagt, dass es damit auch ein Hauptidealbereich ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 So 23.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Vielen Dank!!!!
Gruss
kushkush
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