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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
Ich habe gerade gezeigt, dass für [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{-7})[/mm], [mm] \mathbb{Z}_{K}$ [/mm] ein Hauptidealringist.
Nun versuche ich das gleiche für [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{-19})[/mm] zu zeigen.
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
Sei [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm]. Dann lässt sich [mm]I = a_{1}\mathbb{Z}+a_{2}\mathbb{Z}[/mm] schreiben. Ich wähle [mm](a_{1},a_{2})[/mm] reduziert und setze [mm]\tau := \frac{a_{2}}{a_{1}}[/mm]. Dann ist [mm]Im(\tau) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm].
Mit [mm]-19 \equiv 1 (mod 4)[/mm] folgt [mm]disc(K) = -19[/mm]. Dann ist:
[mm]\triangle_{K/\mathbb{Q}}(a_{1},a_{2}) = -19\cdot N(I)^{2}[/mm]
Auch gilt [mm]\triangle_{K/\mathbb{Q}}(a_{1},a_{2}) = det\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} \\
\overline{a_{1}} & \overline{a_{2}} \end{bmatrix}^{2} = -4|a_{1}|^{4}Im(\tau)^{2}[/mm]
Gleichsetzen liefert [mm]-19\cdot N(I)^{2} = -4|a_{1}|^{4}Im(\tau)^{2}[/mm] und aufgelöst nach [mm]|a_{1}|^{2}[/mm] erhalte ich [mm]|a_{1}|^{2} \le \sqrt{\frac{19}{3}}N(I)[/mm]
Ok. Nun ist ja [mm]a_{1} \in I \Rightarrow a_{1}\mathbb{Z}_{K} \subset I \Rightarrow I\mid a_{1}\mathbb{Z}_{K} \Rightarrow \exists[/mm] ideal [mm]J \subset \mathbb{Z}_{K}[/mm] s.t. [mm]IJ = a_{1}\mathbb{Z}_{K}[/mm].
[mm]N(I)N(J) = N(IJ) = N(a_{1}\mathbb{Z}_{K}) = \mid N_{K/\mathbb{Q}}(a_{1})\mid = \mid a_{1} \mid^{2} \le \sqrt{\frac{19}{3}}N(I) \Rightarrow N(J) \le \sqrt{\frac{19}{3}}[/mm] < 3.
Somit habe ich zwei Fälle:
1) [mm]N(J) = 1[/mm]. Dann ist [mm]J = \mathbb{Z}_{K}[/mm] und somit [mm]I = a_{1}\mathbb{Z}_{K}[/mm] ein Hauptidealring und [mm]\left[I\right] = 1[/mm] in [mm]Cl_{K}[/mm] (Klassengruppe). In diesem Fall ist alles in Ordnung.
2) [mm]N(J) = 2[/mm]. Dann ist auf jeden Fall [mm]2 \in J \Rightarrow 2\mathbb{Z}_{K} \subset J \Rightarrow J \mid 2\mathbb{Z}_{K}[/mm].
Wie mache ich in diesem Fall weiter? Könnte ja [mm]2\mathbb{Z}_{K}[/mm] versuchen zu faktorisieren.. aber wie mache ich das in [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{-19})[/mm]?
Auf jeden Fall wäre ich um jedes bisschen Hilfe dankbar :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 03.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Wie mache ich in diesem Fall weiter? Könnte ja
> > > [mm]2\mathbb{Z}_{K}[/mm] versuchen zu faktorisieren.. aber wie mache
> > > ich das in [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{-19})[/mm]?
> >
> > Nun, da [mm]\left( \frac{-19}{2} \right) = -1[/mm] (Jacobi-Symbol,
> > laut Maple) ist [mm]2 \mathbb{Z}_K[/mm] ein Primideal (siehe
> >
> ![[]](/images/popup.gif) hier)
> > in [mm]K = \IQ(\sqrt{-19})[/mm].
>
> Ja, hatten das gerade vorher in der Vorlesung.. danke also
> für den Hinweis :)
Bitte :)
> Ich geb mir jetzt Mühe, damit was anzufangen, aber
> irgendwie komme ich trotzdem nicht zum Ergebnis.
>
> Ich hab also [mm]J \mid 2\mathbb{Z}_{K}[/mm] und [mm]2 \mathbb{Z}_{K}[/mm]
> Primideal.. und ich hoffe hier nichts zu überstürzen,
> aber aus [mm]N(J) = 2[/mm] sollte doch jetzt [mm]J = 2\mathbb{Z}_{K}[/mm]
> folgen.. ja?
Ja.
Aus $J [mm] \mid [/mm] 2 [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] und der Eindeutigkeit der Zerlegung von Idealen in Primideale folgt, dass $J = 2 [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] ist falls $2 [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] ein Primideal ist -- was hier der Fall ist.
> Auf jeden Fall weiss ich damit nichts anzufangen.. das sagt
> mir ja über das Ideal [mm]I[/mm] gar nichts, und dieses ist ja das
> Ideal von Interesse.. ich weiss jetzt nur [mm]I\cdot 2\mathbb{Z}_{K} = a_{1}\mathbb{Z}_{K}[/mm].
> Kann ich etwas über [mm]I[/mm] aussagen?
Nun, teilst du durch $2 [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] (was in der Gruppe der gebrochenen Ideale problemlos geht), so steht da $I = [mm] \frac{a_1}{2} \mathbb{Z}_K$, [/mm] also ein Hauptideal.
Falls ihr keine gebrochenen Ideale hattet: wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung muss [mm] $a_1 \mathbb{Z}_K$ [/mm] durch $2 [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] teilbar sein, und wenn $a [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] durch $b [mm] \mathbb{Z}_K$ [/mm] teilbar ist, muss der Quotient [mm] $\frac{a}{b} \mathbb{Z}_K$ [/mm] sein und [mm] $\frac{a}{b} \in \mtahbb{Z}_K$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
> Nun, teilst du durch [mm]2 \mathbb{Z}_K[/mm] (was in der Gruppe der
> gebrochenen Ideale problemlos geht), so steht da [mm]I = \frac{a_1}{2} \mathbb{Z}_K[/mm],
> also ein Hauptideal.
>
Aber natürlich.. ^^
> Falls ihr keine gebrochenen Ideale hattet: wegen der
> Eindeutigkeit der Primidealzerlegung muss [mm]a_1 \mathbb{Z}_K[/mm]
> durch [mm]2 \mathbb{Z}_K[/mm] teilbar sein, und wenn [mm]a \mathbb{Z}_K[/mm]
> durch [mm]b \mathbb{Z}_K[/mm] teilbar ist, muss der Quotient
> [mm]\frac{a}{b} \mathbb{Z}_K[/mm] sein und [mm]\frac{a}{b} \in \mtahbb{Z}_K[/mm].
Doch doch, hatten wir.. ich hab sie nur noch nicht wirklich gelernt sie zu benutzen.. Ich danke dir!
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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