Hauptideale und Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Sei R Hauptidealring und A,B sind Ideale von R, für das gilt: A+B=R.
Nun soll diese Gleichung bewiesen werden:
R/(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cong [/mm] R/A x R/B
b)
[mm] R=\IZ, A=5\IZ, B=4\IZ
[/mm]
Bestimme [mm] x\in\IZ, [/mm] so dass gilt:
[mm] x\equiv2mod [/mm] A
[mm] x\equiv3mod [/mm] B
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie soll man diese Aufgabe lösen?
hab schon vieles probiert aber irgendwie habe ich noch nicht mal einen Ansatz.
zu a) hab ich folgenden kleinen Ansatz.
[mm] (A\capB) [/mm] ist ja der Durschnitt beider Mengen. Also Elemente die in A und in B vorkommen.
Dann könnte man doch den größten gemeinsamen Teiler von A und B nehmen, und das wäre dann die Durschnittsmenge.
Ich weiß nicht, was das x bedeutet, da das dch das kartesische Produkt definiert und [mm] \cong [/mm] müsste doch die äquivalenz sein oder?
Jedenfalls weiß ich nicht, wie man weiter vorgehen soll.
Zur b) hab ich auch keine Idee, um irgendwie das x zu berechnen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 14.06.2010 | | Autor: | valoo |
Heyho!
Das ist der chinesische Restsatz, den du da zu beweisen hast (für nur zwei Ideale...)
> a)
> Sei R Hauptidealring und A,B sind Ideale von R, für das
> gilt: A+B=R.
> Nun soll diese Gleichung bewiesen werden:
> R/(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cong[/mm] R/A x R/B
>
> b)
> [mm]R=\IZ, A=5\IZ, B=4\IZ[/mm]
> Bestimme [mm]x\in\IZ,[/mm] so dass gilt:
> [mm]x\equiv2mod[/mm] A
> [mm]x\equiv3mod[/mm] B
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie soll man diese Aufgabe lösen?
> hab schon vieles probiert aber irgendwie habe ich noch
> nicht mal einen Ansatz.
> zu a) hab ich folgenden kleinen Ansatz.
> [mm](A\capB)[/mm] ist ja der Durschnitt beider Mengen. Also
> Elemente die in A und in B vorkommen.
> Dann könnte man doch den größten gemeinsamen Teiler von
> A und B nehmen, und das wäre dann die Durschnittsmenge.
Was ist denn der ggT? Die Ideale sind relativ prim, die Erzeuger sind teilerfremd. Sei a Erzeuger von A und b Erzeuger von b. Dann ist a*b Erzeuger vom Schnitt.
> Ich weiß nicht, was das x bedeutet, da das dch das
> kartesische Produkt definiert und [mm]\cong[/mm] müsste doch die
> äquivalenz sein oder?
> Jedenfalls weiß ich nicht, wie man weiter vorgehen soll.
Jupp, das is das kartesische Produkt. Die beiden sind isomorph. Nimm dir um das zu beweisen nen Homomorphismus, der ein Ringelement auf das Paar der Äquivalenzklassen abbildet. Zeig Surjektivität und wende dann den Homomorphiesatz an. Dann ist das kartesische Produkt nämlich isomorph zum Ring modulo dem Kern und was der wohl ist?
> Zur b) hab ich auch keine Idee, um irgendwie das x zu
> berechnen
Weißt du denn was das bedeutet? Das x was du suchst muss in der Äquivalenzklasse von 2 in [mm] \IZ/5\IZ [/mm] liegen und in der Äquivalenzklasse von 3 in [mm] \IZ/4\IZ...
[/mm]
Grüße
valoo
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hab die b) versucht, aber die Aufgabe dennoch nicht verstanden. Irgendwie kann ich diesen chinesische Restsatz nicht anwenden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 16.06.2010 | | Autor: | valoo |
Heyho!
Aber man sieht doch sofort eine Lösung...
Oder etwa nicht?
[mm] 7\equiv3 [/mm] mod 4
[mm] 7\equiv2 [/mm] mod 5
[mm] \Rightarrow [/mm] Für alle Lösungen x gilt: [mm] x\equiv7 [/mm] mod 20
Du brauchst nur eine Lösung und nimmst das dann modulo 4*5.
Normalerweise könnte es auch etwas schwieriger sein, eine Lösung zu bestimmen, aber hierbei sieht mans.
lg
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