Hauptachsentransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 16.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich soll für die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] die Hauptachsentransformation ausführen, also eine ONB finden und dann die Transformationsmatrix aufstellen.
Als erstes habe ich das char. Polynom ausgerechnet, daß für mich ist:
-(x-1)²(x-4)
Dann habe ich die zugehörigen Eigenvektoren ausgerechnet
für (A,4) ist das dann [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für (A,1) erhalte ich z.B. [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] also [mm] v_{1} [/mm] und als [mm] v_{2} [/mm] erhalte ich z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher ob es bis dahin richtig ist.
Danach habe ich Gram-Schmidt angewendet:
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{ \wurzel{2}} \\ 0}
[/mm]
Dann rechne ich [mm] w_{2} [/mm] aus und erhalte [mm] \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{6}} \\ \bruch{1}{ \wurzel{6}} \\ \bruch{2}{ \wurzel{6}}}
[/mm]
und als letztes erhalte ich [mm] w_{3}= \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{24}} \\ \bruch{1}{ \wurzel{24}} \\ \bruch{-1}{ \wurzel{24}}}
[/mm]
die Transformationsmatrix ist ja dann einfach die Vektoren als Spalten aufgefasst, das ist einfach, aber mir kommt die wurzel{24} sehr merkwürdig vor, also bitte ich um eure hilfe
Danke im Vorraus
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 16.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Britta!
Also, was mir direkt auffällt:
> ich soll für die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm]
> die Hauptachsentransformation ausführen, also eine ONB
> finden und dann die Transformationsmatrix aufstellen.
>
> Als erstes habe ich das char. Polynom ausgerechnet, daß für
> mich ist:
> -(x-1)²(x-4)
>
> Dann habe ich die zugehörigen Eigenvektoren ausgerechnet
>
> für (A,4) ist das dann [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> für (A,1) erhalte ich z.B. [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] also
> [mm]v_{1}[/mm] und als [mm]v_{2}[/mm] erhalte ich z.B. [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
[mm] $v_2$ [/mm] stimmt nicht. Es muss z.B. [mm] $v_2 [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ -1}$ [/mm] heißen.
Klappt es damit besser?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 16.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hallo Julius
Danke für die schnelle Antwort,
also an [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] ändert das nichts (jedenfalls nicht bei mir) aber [mm] w_{3} [/mm] ist dann = [mm] \vektor{\bruch{4}{7} \\ \bruch{2}{7} \\ \bruch{1}{7} }
[/mm]
Kann das sein? Scheint mir zu einfach
Danke
Britta
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Hallo Britta,
> Hallo Julius
>
> Danke für die schnelle Antwort,
> also an [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] ändert das nichts (jedenfalls nicht
> bei mir) aber [mm]w_{3}[/mm] ist dann = [mm]\vektor{\bruch{4}{7} \\ \bruch{2}{7} \\ \bruch{1}{7} }[/mm]
>
> Kann das sein? Scheint mir zu einfach
nach dem was Julius geschrieben hat, sind die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{3}[/mm] bzw. [mm]w_{2}[/mm] und [mm]w_{3}[/mm] orthogonal zueinander.
Die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] sind aber nicht orthogonal zueinander. Daher ist hier noch ein orthogonaler Vektor zu bestimmen.
Damit hast Du dann ein ON-Basis.
Baust Du dann die so erhaltenen Vektoren zusammen ergibt das die Transformationsmatrix.
Gruß
MathePower
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