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Hauptachsentransformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 16.08.2005
Autor: Britta82

Hi,

ich soll für die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] die Hauptachsentransformation ausführen, also eine ONB finden und dann die Transformationsmatrix aufstellen.

Als erstes habe ich das char. Polynom ausgerechnet, daß für mich ist:
-(x-1)²(x-4)

Dann habe ich die zugehörigen Eigenvektoren ausgerechnet

für (A,4) ist das dann [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

für (A,1) erhalte ich  z.B. [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] also [mm] v_{1} [/mm] und als [mm] v_{2} [/mm] erhalte ich z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Ich bin mir nicht ganz sicher ob es bis dahin richtig ist.

Danach habe ich Gram-Schmidt angewendet:

[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{ \wurzel{2}} \\ 0} [/mm]

Dann rechne ich [mm] w_{2} [/mm] aus und erhalte [mm] \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{6}} \\ \bruch{1}{ \wurzel{6}} \\ \bruch{2}{ \wurzel{6}}} [/mm]

und als letztes erhalte ich [mm] w_{3}= \vektor{\bruch{1}{ \wurzel{24}} \\ \bruch{1}{ \wurzel{24}} \\ \bruch{-1}{ \wurzel{24}}} [/mm]

die Transformationsmatrix ist ja dann einfach die Vektoren als Spalten aufgefasst, das ist einfach, aber mir kommt die wurzel{24} sehr merkwürdig vor, also bitte ich um eure hilfe

Danke im Vorraus

Britta

        
Bezug
Hauptachsentransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Di 16.08.2005
Autor: Julius

Hallo Britta!

Also, was mir direkt auffällt:

> ich soll für die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm]
> die Hauptachsentransformation ausführen, also eine ONB
> finden und dann die Transformationsmatrix aufstellen.
>  
> Als erstes habe ich das char. Polynom ausgerechnet, daß für
> mich ist:
> -(x-1)²(x-4)
>  
> Dann habe ich die zugehörigen Eigenvektoren ausgerechnet
>  
> für (A,4) ist das dann [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  
> für (A,1) erhalte ich  z.B. [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] also
> [mm]v_{1}[/mm] und als [mm]v_{2}[/mm] erhalte ich z.B. [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]

[mm] $v_2$ [/mm] stimmt nicht. Es muss z.B. [mm] $v_2 [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ -1}$ [/mm] heißen.

Klappt es damit besser?

Viele  Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Hauptachsentransformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Di 16.08.2005
Autor: Britta82

Hallo Julius

Danke für die schnelle Antwort,
also an [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] ändert das nichts (jedenfalls nicht bei mir) aber [mm] w_{3} [/mm] ist dann =  [mm] \vektor{\bruch{4}{7} \\ \bruch{2}{7} \\ \bruch{1}{7} } [/mm]

Kann das sein? Scheint mir zu einfach

Danke

Britta

Bezug
                        
Bezug
Hauptachsentransformation: Julius hat Recht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Di 16.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Britta,

> Hallo Julius
>  
> Danke für die schnelle Antwort,
> also an [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] ändert das nichts (jedenfalls nicht
> bei mir) aber [mm]w_{3}[/mm] ist dann =  [mm]\vektor{\bruch{4}{7} \\ \bruch{2}{7} \\ \bruch{1}{7} }[/mm]
>  
> Kann das sein? Scheint mir zu einfach

nach dem was Julius geschrieben hat, sind die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{3}[/mm] bzw. [mm]w_{2}[/mm] und [mm]w_{3}[/mm] orthogonal zueinander.

Die Vektoren [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] sind aber nicht orthogonal zueinander. Daher ist hier noch ein orthogonaler Vektor zu bestimmen.

Damit hast Du dann ein ON-Basis.

Baust Du dann die so erhaltenen Vektoren zusammen ergibt das die Transformationsmatrix.

Gruß
MathePower

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