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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 15.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Hauptachsentransformation (mit Transformation) und die Signatur folgender Matrix:
A= [mm] \bruch{1}{3} \pmat{ 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5} \in M(3x3,\IR). [/mm] |
Hauptachsentransformation haben wir eigentlich gar nicht besprochen. Ich würde mich deshalb sehr über eine ganz kurze "Anleitung" freuen. Denn im Internet konnte ich kaum etwas hilfreiches hierzu finden.
Ich freue mich auf Eure Antworten,
Viele Grüßel,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Hauptachsentransformation (mit
> Transformation) und die Signatur folgender Matrix:
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> A= [mm]\bruch{1}{3} \pmat{ 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5} \in M(3x3,\IR).[/mm]
>
> Hauptachsentransformation haben wir eigentlich gar nicht
> besprochen. Ich würde mich deshalb sehr über eine ganz
> kurze "Anleitung" freuen. Denn im Internet konnte ich kaum
> etwas hilfreiches hierzu finden.
Bestimme zunächst die Eigenwerte der Matrix A.
Zu diesen Eigenwerten sind die Eigenvektoren zu bestimmen.
Die Transformatiomsmatrix T,
für die die Matrix [mm]T^{t}AT[/mm] Diagonalgestalt hat,
wird dann aus den Eigenvektoren zusammengesetzt.
>
> Ich freue mich auf Eure Antworten,
>
> Viele Grüßel,
> Vilietha
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Vilietha |
Wenn ich es richtig verstehe, müssen die Eigenvektoren orthonormalisiert werden, bevor sie in die Matrix T kommen, oder? Wenn alle Eigenwerte verschieden sind, sind alle Eigenvektoren natürlich schon orthogonal. In jedem Fall müssen sie dann ja aber noch normalisiert werden, damit T orthogonal ist.
Eine weitere Frage:
Vor der Matrix steht ja 1/3. Kann ich diesen Faktor bei der Berechnung der Eigenwerte weglassen, und später die erhaltenen Eigenwerte damit multiplizieren? Denn dann hätte meine Matrix keine Brüche, was ja schöner ist für die Berechnung der Eigenwerte.
Viele Grüße,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
> Wenn ich es richtig verstehe, müssen die Eigenvektoren
> orthonormalisiert werden, bevor sie in die Matrix T kommen,
> oder? Wenn alle Eigenwerte verschieden sind, sind alle
> Eigenvektoren natürlich schon orthogonal. In jedem Fall
> müssen sie dann ja aber noch normalisiert werden, damit T
> orthogonal ist.
Hier meinst Du wohl "orthonormal".
Ja, die Eigenvektoren müssen orthonormalisiert werden.
>
> Eine weitere Frage:
> Vor der Matrix steht ja 1/3. Kann ich diesen Faktor bei
> der Berechnung der Eigenwerte weglassen, und später die
> erhaltenen Eigenwerte damit multiplizieren? Denn dann
> hätte meine Matrix keine Brüche, was ja schöner ist für
> die Berechnung der Eigenwerte.
Nein, den Faktor [mm]\bruch{1}{3}[/mm] kannst Du nicht weglassen.
Eine Weglassung dieses Faktors hat eine
Änderung der Eigenwerte zur Folge.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 03.04.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort.
Also ich fasse zusammen: Eine Hauptachsentransformation einer symmetrischen Matrix ist eine klassische Eigenwertzerlegung von dieser, wobei die Transformationsmatrix orthogonal sein muss.
Das mit dem Faktor habe ich nun einige male ausprobiert, und es hat bei meinen Beispiel immer funktioniert. Multipliziert man die Eigenwerte der Matrix ohne den Faktor, sind dies die selben wie die Eigenwerte der Matrix mit dem Faktor. Was ja auch logisch zu sein scheint, denn die Matrix mit dem Faktor hat müsste ja die selben Eigenvektoren wie die Matrix ohne den Faktor haben, und die Eigenwerte müssten ja dann auch um diesen Faktor erhöht werden, wenn ich mir dies vorstelle.
Ich habe nun folgendes Berechnet:
[mm] A=1/3*\pmat{8 & -2 & 2 \\-2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5} [/mm] = [mm] \pmat{0 & -2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ 0 & 2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ 2/3 & -1/6 & +1/6 }* \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }* \pmat{0 & 0 & 2/3 \\ -2^{-1/2} & 2^{-1/2} &-1/6 \\ 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & 1/6} [/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn das jemand überprüfen könnte.
Viele Grüße,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Also ich fasse zusammen: Eine Hauptachsentransformation
> einer symmetrischen Matrix ist eine klassische
> Eigenwertzerlegung von dieser, wobei die
> Transformationsmatrix orthogonal sein muss.
>
> Das mit dem Faktor habe ich nun einige male ausprobiert,
> und es hat bei meinen Beispiel immer funktioniert.
> Multipliziert man die Eigenwerte der Matrix ohne den
> Faktor, sind dies die selben wie die Eigenwerte der Matrix
> mit dem Faktor. Was ja auch logisch zu sein scheint, denn
> die Matrix mit dem Faktor hat müsste ja die selben
> Eigenvektoren wie die Matrix ohne den Faktor haben, und die
> Eigenwerte müssten ja dann auch um diesen Faktor erhöht
> werden, wenn ich mir dies vorstelle.
>
> Ich habe nun folgendes Berechnet:
>
> [mm]A=1/3*\pmat{8 & -2 & 2 \\-2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5}[/mm] =
> [mm]\pmat{0 & -2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ 0 & 2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ 2/3 & -1/6 & +1/6 }* \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }* \pmat{0 & 0 & 2/3 \\ -2^{-1/2} & 2^{-1/2} &-1/6 \\ 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & 1/6}[/mm]
Die erste Spalte der Transformationsmatrix stimmt nicht.
Dieser Vektor ist nicht Eigenvektor zum Eigenwert 0.
Die beiden anderen Spalten der Transformationsmatrix
sind jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert 3.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn das jemand überprüfen
> könnte.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo MathePower,
vielen Dank für die Korrektur.
Meine Hypthese mit dem Faktor vor der Matrix scheinst du aber nicht bestätigen zu können.
Vielleicht gelingt mir ja noch ein Beweis...
Viele Grüße,
Vilietha
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