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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 07.08.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | Gegeben ist die Quadrik
Q =(x, y)⊺∈ [mm] \IR² [/mm] | 4x² − 12x + 5y − 1 = 0
Bestimmen Sie den Vektor a, der den linearen Anteil der Quadrik beschreibt. Führen Sie eine Hauptachsentransformation
durch und ermitteln Sie die Koordinaten
eP des neuen Ursprungs P . |
Hallo, der Vektor a ist ja leicht abzulesen:
a= (-6,5/2).
Aber wie führe ich jetzt diese Hauptachsentransformation richtig durch?
Eigenwerte habe ich bestimmt: (4 und 0) zugehörige Eigenvektoren: (-1,0) und (0,-1). <--- Brauche ich die überhaupt?
Das ganze kommt mir etwas komisch vor weil die eigentliche Matrix ja schon auf Diagonalgestalt ist...
Also würde ich jetzt mit quadratischer Ergänzung die Ursprungsgleichung:
4x² − 12x + 5y − 1 = 0 so ergänzen: (+9-9)
[mm] (2x+3)^2 [/mm] -9+5y-1=0
Dann bekomme ich die x-Koordinate von meinem neuen Ursprung richtig??? Die ist dann (3/2) (wie auch meine lösung besagt).
Aber meine y-Koordiante wäre ja dann 0 und die ist laut lösung =2
Auch habe ich ja mit [mm] \IF [/mm] P =(3/2,0) ja noch nicht den neuen Ursprung,also fehlt mir ja noch die Koordinatentransformation... nur dabei bin ich mir nicht mehr wirklich sicher was zu tun ist.
Bitte um Hilfe... Danke schonmal
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> Gegeben ist die Quadrik
> Q =(x, y)⊺∈ [mm]\IR²[/mm] | 4x² − 12x + 5y
> − 1 = 0
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> Bestimmen Sie den Vektor a, der den linearen Anteil der
> Quadrik beschreibt. Führen Sie eine
> Hauptachsentransformation
> durch und ermitteln Sie die Koordinaten
> eP des neuen Ursprungs P .
> Hallo, der Vektor a ist ja leicht abzulesen:
> a= (-6,5/2).
>
> Aber wie führe ich jetzt diese Hauptachsentransformation
> richtig durch?
> Eigenwerte habe ich bestimmt: (4 und 0) zugehörige
> Eigenvektoren: (-1,0) und (0,-1). <--- Brauche ich die
> überhaupt?
> Das ganze kommt mir etwas komisch vor weil die eigentliche
> Matrix ja schon auf Diagonalgestalt ist...
>
> Also würde ich jetzt mit quadratischer Ergänzung die
> Ursprungsgleichung:
> 4x² − 12x + 5y − 1 = 0 so ergänzen: (+9-9)
>
> [mm](2x+3)^2[/mm] -9+5y-1=0
Hallo!
Naja, eigentlich:
[mm](2x-3)^2 -9+5y-1=0[/mm]
[mm]\gdw 4*\left(x-\bruch{3}{2}\right)^2 +5*(y-2) =0[/mm]
> Dann bekomme ich die x-Koordinate von meinem neuen Ursprung
> richtig??? Die ist dann (3/2) (wie auch meine lösung
> besagt).
>
> Aber meine y-Koordiante wäre ja dann 0 und die ist laut
> lösung =2
Siehe oben! (Ich habe zwar keine detaillierte Ahnung aber y = 2 lässt sich da durchaus ablesen!)
Stefan.
> Auch habe ich ja mit [mm]\IF[/mm] P =(3/2,0) ja noch nicht den neuen
> Ursprung,also fehlt mir ja noch die
> Koordinatentransformation... nur dabei bin ich mir nicht
> mehr wirklich sicher was zu tun ist.
>
> Bitte um Hilfe... Danke schonmal
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Hallo marder,
> Gegeben ist die Quadrik
> Q =(x, y)⊺∈ [mm]\IR²[/mm] | 4x² − 12x + 5y
> − 1 = 0
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> Bestimmen Sie den Vektor a, der den linearen Anteil der
> Quadrik beschreibt. Führen Sie eine
> Hauptachsentransformation
> durch und ermitteln Sie die Koordinaten
> eP des neuen Ursprungs P .
> Hallo, der Vektor a ist ja leicht abzulesen:
> a= (-6,5/2).
>
> Aber wie führe ich jetzt diese Hauptachsentransformation
> richtig durch?
> Eigenwerte habe ich bestimmt: (4 und 0) zugehörige
> Eigenvektoren: (-1,0) und (0,-1). <--- Brauche ich die
> überhaupt?
> Das ganze kommt mir etwas komisch vor weil die eigentliche
> Matrix ja schon auf Diagonalgestalt ist...
>
> Also würde ich jetzt mit quadratischer Ergänzung die
> Ursprungsgleichung:
> 4x² − 12x + 5y − 1 = 0 so ergänzen: (+9-9)
>
> [mm](2x+3)^2[/mm] -9+5y-1=0
Laut der Mitteilung von Steppenhahn ist hier ein Vorzeichenfehler passiert:
[mm]\left(2x\red{-}3\right)^{2} -9+5y-1=0[/mm]
[mm]\gdw\left(2x\red{-}3\right)^{2} +5y-10=0[/mm]
[mm]\gdw\left(2x\red{-}3\right)^{2} +5\left(y-2\right)=0[/mm]
[mm]\gdw 4 \left(x\red{-}\bruch{3}{2}\right)^{2} +5\left(y-2\right)=0[/mm]
Damit ist [mm]\left(\bruch{3}{2}\left|\right 2\right)[/mm] der Mittelpunkt dieser Quadrik.
>
> Dann bekomme ich die x-Koordinate von meinem neuen Ursprung
> richtig??? Die ist dann (3/2) (wie auch meine lösung
> besagt).
>
> Aber meine y-Koordiante wäre ja dann 0 und die ist laut
> lösung =2
>
> Auch habe ich ja mit [mm]\IF[/mm] P =(3/2,0) ja noch nicht den neuen
> Ursprung,also fehlt mir ja noch die
> Koordinatentransformation... nur dabei bin ich mir nicht
> mehr wirklich sicher was zu tun ist.
>
> Bitte um Hilfe... Danke schonmal
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Sa 09.08.2008 | | Autor: | marder |
hey, vielen dank erstmal, da hab ich wohl den wald vor lauter bäumen nicht mehr gesehen,...
ist die potenz denn egal?
weil die erste koordinate ja in 2ter Potenz steht, die zweite aber zum linearen teil, also nur ^1 ist??!
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Hallo marder,
> hey, vielen dank erstmal, da hab ich wohl den wald vor
> lauter bäumen nicht mehr gesehen,...
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> ist die potenz denn egal?
Bei Quadriken ist die höchste Potenz in der die Variablen vorhanden 2, (im Fall [mm]\IR^{2}: x^{2}, y^{2}[/mm].
Hier lautet dann die Gleichung der Quadrik:
[mm]4*x^{2} + 0*xy + 0*y^{2}-12x + 5y-1 = 0 [/mm]
>
> weil die erste koordinate ja in 2ter Potenz steht, die
> zweite aber zum linearen teil, also nur ^1 ist??!
Das ist dann bei der Charakterisierung wichtig.
Da hier x in 2. Potenz und y in 1. Potenz vorkommen, deutet das auf eine Parabel hin.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Quadrik
Gruß
MathePower
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