Harmonische und holomorphe Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
| Aufgabe | a) Sei [mm] u:B(z_0,r)-> \IR [/mm] harmonisch. Zeigen sie es gibt eine holomorphe Fktn auf [mm] B(z_0,r) [/mm] mit Re(f)=u
b) Sei G [mm] \subset \IC [/mm] ein Gebiet, a [mm] \in [/mm] G und u:G-> [mm] \IR [/mm] harmonisch und r>0 mit B(a,r) [mm] \subset [/mm] G und u(z) [mm] \leq [/mm] u(a) für z [mm] \in [/mm] B(a,r). Zeigen sie u [mm] \equiv [/mm] u(a) auf G. |
Hallo,
mit der obrigen Aufgabe habe ich einige Probleme.
Zu a) Das scheint ja eine Standard-Aufgabe zu sein, ich habe aber trotzdem keine Lösung gefunden. Was ich bis jetzt geschafft habe, ist zu zeigen, dass die Funktion [mm] g=\bruch{\partial u}{\partial x}-i\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] holomorph ist und somit eine holomorphe Stammfktn. f existiert. Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass (bis aus Konstante) gilt Re(f)=u. Man müsste ja zeigen [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{Re(f)}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=\bruch{Re(f)}{\partial y}.
[/mm]
Zu b): Ich denke man wird so vorgehen. Nach a) existiert eine holomorphe Funktion auf B(a,r) mit Re(f)=u. Dann muss man mit dem irgendwie mit dem Maximumsprinzip folgern, dass f auf dem Kreis konstant ist. Dann weiß man ja schon nach dem Identitätssatz, dass alle holomorphen Funktionen auf G, die auf dem Kreis mit f übereinstimmen konstant sind. Daraus müsste man dann folgern, dass dann u auch konstant ist.
Bei diesem Teil habe ich zwei Fragen:
-Wie zeige ich die Konstanz von f auf dem Kreis mit dem Maximumsprinzip?
-Wie folgere ich daraus, dass u konstant ist daraus, dass jede der oben genannten holomorphen Funktionen konstant ist?
Wäre für Tipps dankbar.
Gruß
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Sei [mm]u:B(z_0,r)-> \IR[/mm] harmonisch. Zeigen sie es gibt
> eine holomorphe Fktn auf [mm]B(z_0,r)[/mm] mit Re(f)=u
>
> b) Sei G [mm]\subset \IC[/mm] ein Gebiet, a [mm]\in[/mm] G und u:G-> [mm]\IR[/mm]
> harmonisch und r>0 mit B(a,r) [mm]\subset[/mm] G und u(z) [mm]\leq[/mm] u(a)
> für z [mm]\in[/mm] B(a,r). Zeigen sie u [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
u(a) auf G.
> Hallo,
>
> mit der obrigen Aufgabe habe ich einige Probleme.
>
> Zu a) Das scheint ja eine Standard-Aufgabe zu sein, ich
> [...]
Ohne mir das jetzt durchgelesen zu haben:
Du kannst $v$ durch $v(z) = \int_{\overline{z_0 z} u_x dy - u_y dx$ definieren. (Dabei ist $\overline{z_0 z}$ die Verbindungslinie $z_0$ zu $z$, $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ und $u_y$ analog.)
> Zu b): Ich denke man wird so vorgehen. Nach a) existiert
> eine holomorphe Funktion auf B(a,r) mit Re(f)=u. Dann muss
> man mit dem irgendwie mit dem Maximumsprinzip folgern, dass
> f auf dem Kreis konstant ist. Dann weiß man ja schon nach
> dem Identitätssatz, dass alle holomorphen Funktionen auf G,
> die auf dem Kreis mit f übereinstimmen konstant sind.
> Daraus müsste man dann folgern, dass dann u auch konstant
> ist.
> Bei diesem Teil habe ich zwei Fragen:
> -Wie zeige ich die Konstanz von f auf dem Kreis mit dem
> Maximumsprinzip?
> -Wie folgere ich daraus, dass u konstant ist daraus, dass
> jede der oben genannten holomorphen Funktionen konstant
> ist?
Eine gute Frage. Deswegen wuerde ich vorschlagen, das ganze anders zu loesen. Erstmal kannst du aus der harmonischen Funktion $u$ ja ne holomorphe Funktion $f = u + i v$ machen. Dann berechne doch mal $f(a)$ mittels der Cauchyschen Integralformel (ueber $\partial B_r(a)$ integrieren). Und jetzt schau mal ob du das $v$ wieder aus der Formel loswirst 
Dann hast du ne nette Intgraldarstellung. Mit der kannst du jetzt die Behauptung zeigen (wenn es echt kleiner ist, dann ... wegen Stetigkeit).
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Di 23.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Felix,
erstmal vielen dank für deine Antwort, leider kann ich die Aufgabe immer noch nicht ganz lösen.
>
> Ohne mir das jetzt durchgelesen zu haben:
> Du kannst [mm]v[/mm] durch [mm]v(z) = \int_{\overline{z_0 z}} u_x dy - u_y dx[/mm]
> definieren. (Dabei ist [mm]\overline{z_0 z}[/mm] die
> Verbindungslinie [mm]z_0[/mm] zu [mm]z[/mm], [mm]u_x = \frac{\partial u}{\partial x}[/mm]
> und [mm]u_y[/mm] analog.)
Wenn ich das gemacht habe, wie zeige ich denn dann die C.-R.-Dgl.. Ich müsste ja dann z.B. zeigen, dass gilt:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}= \bruch{\partial v}{\partial y}, [/mm] also [mm] \bruch{\partial}{\partial y}\int_{\overline{z_0 z}} u_x [/mm] dy - [mm] u_y [/mm] dx muss ich ausrechnen. Der erste Summand liefert mir dann ja das gewünschte [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] aber wie zeige ich das der zweite Summand Null ist,
>
> Eine gute Frage. Deswegen wuerde ich vorschlagen, das ganze
> anders zu loesen. Erstmal kannst du aus der harmonischen
> Funktion [mm]u[/mm] ja ne holomorphe Funktion [mm]f = u + i v[/mm] machen.
> Dann berechne doch mal [mm]f(a)[/mm] mittels der Cauchyschen
> Integralformel (ueber [mm]\partial B_r(a)[/mm] integrieren). Und
> jetzt schau mal ob du das [mm]v[/mm] wieder aus der Formel loswirst
>
Ich denke die Konstanz auf dem Kreis habe ich jetzt gezeigt. In dem ich die Cauchy-Formel nutze dann die Parametresierung des Kreises einsetzte und anschließend nach Real-und Imaginärteil sortiere. Ich erhalte dann:
[mm] u(a)=\bruch{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi}u(a+re^{it})dt. [/mm] Wenn ich jetzt annehme das es einen Punkt gibt in dem u(z) echt kleiner ist erhalte ich ja mit der Stetigkeit von u einen Widerspruch.
> Dann hast du ne nette Intgraldarstellung. Mit der kannst du
> jetzt die Behauptung zeigen (wenn es echt kleiner ist, dann
> ... wegen Stetigkeit).
Aber die Ausdehnung auf das ganz Gebiet habe ich nicht hinbekommen, da ich die Integraldarstellung ja nur auf dem Kreis habe.
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Di 23.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo,
> Wenn ich das gemacht habe, wie zeige ich denn dann die
> C.-R.-Dgl.. Ich müsste ja dann z.B. zeigen, dass gilt:
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}= \bruch{\partial v}{\partial y},[/mm]
> also [mm]\bruch{\partial}{\partial y}\int_{\overline{z_0 z}} u_x[/mm]
> dy - [mm]u_y[/mm] dx muss ich ausrechnen. Der erste Summand liefert
> mir dann ja das gewünschte [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm]
> aber wie zeige ich das der zweite Summand Null ist,
diesen Teil habe ich jetzt hinbekommen. Was mir noch fehlt ist die Ausdehnung davon das u konstant ist von dem Kreis aus das ganze Gebiet.
> Ich denke die Konstanz auf dem Kreis habe ich jetzt
> gezeigt. In dem ich die Cauchy-Formel nutze dann die
> Parametresierung des Kreises einsetzte und anschließend
> nach Real-und Imaginärteil sortiere. Ich erhalte dann:
> [mm]u(a)=\bruch{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi}u(a+re^{it})dt.[/mm] Wenn
> ich jetzt annehme das es einen Punkt gibt in dem u(z) echt
> kleiner ist erhalte ich ja mit der Stetigkeit von u einen
> Widerspruch.
>
>
>
> > Dann hast du ne nette Intgraldarstellung. Mit der kannst du
> > jetzt die Behauptung zeigen (wenn es echt kleiner ist, dann
> > ... wegen Stetigkeit).
>
> Aber die Ausdehnung auf das ganz Gebiet habe ich nicht
> hinbekommen, da ich die Integraldarstellung ja nur auf dem
> Kreis habe.
>
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> > Wenn ich das gemacht habe, wie zeige ich denn dann die
> > C.-R.-Dgl.. Ich müsste ja dann z.B. zeigen, dass gilt:
> > [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}= \bruch{\partial v}{\partial y},[/mm]
> > also [mm]\bruch{\partial}{\partial y}\int_{\overline{z_0 z}} u_x[/mm]
> > dy - [mm]u_y[/mm] dx muss ich ausrechnen. Der erste Summand liefert
> > mir dann ja das gewünschte [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm]
> > aber wie zeige ich das der zweite Summand Null ist,
>
> diesen Teil habe ich jetzt hinbekommen.
Ok, gut. :)
> Was mir noch fehlt
> ist die Ausdehnung davon das u konstant ist von dem Kreis
> aus das ganze Gebiet.
Also einmal gilt das Argument natuerlich auch fuer jedes kleinere $r$, womit die Funktion auf dem Kreis nur vom Abstand zu $a$ abhaengt. Mit diesem Wissen kann man vielleicht zeigen, dass die Funktion konstant sein muss (Laplace-Operator auf Funktion anwenden, ...).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 25.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo,
genau damit kann ich jetzt zeigen, dass u auf dem ganzem Kreis konstant ist, mein Problem ist die Ausdehnung auf das ganze Gebiet. Meine Situation ist die folgende:
G [mm] \subset \IC [/mm] Gebiet, a [mm] \in [/mm] G und r >0 mit B(a,r) [mm] \subset [/mm] G, gegeben u G -> [mm] \IR [/mm] harmonisch und u B(a,r) -> [mm] \IR [/mm] konstant. Daraus muss ich jetzt folgern, dass u auf ganz g konstant ist.
Deinen Hinweis, dass ich den Laplace-Operator anwenden soll, habe ich leider nicht verstanden.
Gruß
Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> genau damit kann ich jetzt zeigen, dass u auf dem ganzem
> Kreis konstant ist, mein Problem ist die Ausdehnung auf das
> ganze Gebiet. Meine Situation ist die folgende:
> G [mm]\subset \IC[/mm] Gebiet, a [mm]\in[/mm] G und r >0 mit B(a,r) [mm]\subset[/mm]
> G, gegeben u G -> [mm]\IR[/mm] harmonisch und u B(a,r) -> [mm]\IR[/mm]
> konstant. Daraus muss ich jetzt folgern, dass u auf ganz g
> konstant ist.
Das kannst du mit Teil a) und dem Identitaetssatz fuer holomorphe Funktionen machen! Definiere die Menge [mm] $G^0$ [/mm] der Punkte $z [mm] \in [/mm] G$, so dass $u$ auf einer Umgebung von $z$ konstant ist. Diese Menge ist offen. Wenn sie nicht ganz $G$ ist, so gibt es ein $z [mm] \in (\partial G^0) \cap [/mm] G$. Nimm dir einen Kreis um $z$. Was passiert dort?
> Deinen Hinweis, dass ich den Laplace-Operator anwenden
> soll, habe ich leider nicht verstanden.
Sorry, ich hatte gedacht du haettest es nur fuer den Kreisrand gezeigt und wolltest es jetzt fuer die Kreisscheibe zeigen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 25.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Felix,
erstmal noch einmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe, aber leider muss ich nochmal eine Nachfrage stellen. Irgendwie liegt mir diese Aufgabe wohl nicht, aber jetzt will ich sie auch lösen.
> Das kannst du mit Teil a) und dem Identitaetssatz fuer
> holomorphe Funktionen machen! Definiere die Menge [mm]G^0[/mm] der
> Punkte [mm]z \in G[/mm], so dass [mm]u[/mm] auf einer Umgebung von [mm]z[/mm] konstant
> ist. Diese Menge ist offen. Wenn sie nicht ganz [mm]G[/mm] ist, so
> gibt es ein [mm]z \in (\partial G^0) \cap G[/mm]. Nimm dir einen
> Kreis um [mm]z[/mm]. Was passiert dort?
Die Idee dahinter ist ja wahrscheinlich zu zeigen, dass [mm] G^0 [/mm] und G [mm] \setminus G^0 [/mm] offen sind, da dann aus der Gebietseigenschaft folgt dass [mm] G^0=G [/mm] ist. Ich nehme mir jetzt also ein z [mm] \in (\partial G^0) \cap [/mm] G und einen Kreis B um [mm]z[/mm]. Dann weiss ich nach a) es gibt eine holomorphe Funktion auf B mit Re(f)=u und außerdem gibt es eine Folge [mm] (z_n) [/mm] in [mm] G^0\setminus\{z\} [/mm] mit [mm] z_n [/mm] -> z also gilt für alle [mm] z_n Re(f(z_n))=u(a). [/mm] Aus dem Identitätssatz würde ja folgen, dass f auf ganz B konstant wäre, wenn ich wüsste, dass [mm] f(z_n)=const. [/mm] für alle n. Dies habe ich aber erstmal nur für den Realteil?
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine vielen Tipps. Ich habe es jetzt endlich hinbekommen.
Gruß
Frank
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