Hamilton Welle Teilchen Dualis < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Phecda |
Hallo
wir haben die SchrödingerGleichung kennengelernt mit dem Hamiltonoperator
H = [mm] \bruch{1}{2m}(\vec{p}-\bruch{e}{c}\vec{A}(\vec{r},t))^2 [/mm] + [mm] e\Phi
[/mm]
wobei e die Ladung des Elektrons und A und [mm] \Phi [/mm] die Vektorpotentiale.
Nun kann ich ja diesen Hamilton in die Schrödingergleichung einsetzen und diese (mit wahrscheinlich etwas Mühe) lösen.
Ich kann aber auch den klassischen Weg gehen und mit den EulerLagrange Gleichungen bzw. den Hamiltongleichungen die Bewegungsgleichungen (prinzipiel) lösen?
Jetzt ist meine Frage, was kommt jeweils raus?
Und welche Strategie ist die bessere um die Bewegung des Elektrons zu beschreiben?
Danke & Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Sa 06.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo
> wir haben die SchrödingerGleichung kennengelernt mit dem
> Hamiltonoperator
> H = [mm]\bruch{1}{2m}(\vec{p}-\bruch{e}{c}\vec{A}(\vec{r},t))^2[/mm]
> + [mm]e\Phi[/mm]
>
> wobei e die Ladung des Elektrons und A und [mm]\Phi[/mm] die
> Vektorpotentiale.
>
> Nun kann ich ja diesen Hamilton in die Schrödingergleichung
> einsetzen und diese (mit wahrscheinlich etwas Mühe) lösen.
>
> Ich kann aber auch den klassischen Weg gehen und mit den
> EulerLagrange Gleichungen bzw. den Hamiltongleichungen die
> Bewegungsgleichungen (prinzipiel) lösen?
> Jetzt ist meine Frage, was kommt jeweils raus?
Das was man hineingesteckt hat: jede der Beschreibungsweisen entstand aus der Notwendigkeit, beobachtete Effekte zu erklären.
Die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik wie Lagrange- oder Hamiltongleichungen beschreiben ein Elektron als klassisches Teilchen, also als Massenpunkt auf einer wohldefinierten Bahn. Insbesondere sind in dieser Beschreibung alle Größen gleichzeitig beliebig genau messbar, zum Beispiel Ort und Impuls des Elektrons.
Damit ist keines der Phänomene des Mikrokosmos beschreibbar: zum Beispiel weder Beugung am Spalt, noch die Energieniveaus des Wasserstoffatoms, und Teilchenspin gibt es auch nicht, da klassische Massenpunkte keinen Eigendrehimpuls haben können.
Der Hamiltonoperator, den du oben angibst, dient der nichtrelativistischen quantenmechanischen Beschreibung der Elektronen im (klassischen) äußeren elektromagnetischen Feld. Die Relativitätstheorie bleibt außen vor, das Feld selber wird nicht durch die Quantenmechanik beschrieben. Also: kein Comptoneffekt, kein anomales magnetisches Moment, keine Lamb-Verschiebung.
Willst du diese Phänomene richtig beschreiben, musst du das elektromagnetische Feld auch noch quantisieren, dann hast du eine Quantenfeldtheorie, die Quantenelektrodynamik. Auch die hat ihre Grenzen; sie kann weder den Zusammenhalt der Atomkerne noch den Betazerfall erklären.
Umgekehrt enthält jede dieser Theorien die jeweils einfacheren als Grenzfall: die relativistische Quantenmechanik hat als Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten die nichtrelativistische Quantenmechanik, und die geht im Grenzfall großer Wirkungen in die klassische Mechanik über.
Viele Grüße
Rainer
> Und welche Strategie ist die bessere um die Bewegung des
> Elektrons zu beschreiben?
> Danke & Grüße
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