Halbzylinder + Integral < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
| Aufgabe | Für Verpackungen wird gelegentlich die Form eines
Halbzylinders gewählt.
Im Folgenden ist mit dem Materialverbrauch für die
Verpackung ausschließlich die Oberfläche des halbzylindrischen
Körpers gemeint. Dabei wird das Volumen
in cm3 und der Radius in cm angegeben.
Geg.: r=4 cm und h=11,5cm
a) Leiten Sie einen Funktionsterm MV(r) her, der bei einem Volumen V und einem Radius
r den Materialverbrauch M für die Verpackung beschreibt. (9 Punkte)
b) Beschreiben Sie unabhängig vom Sachzusammenhang den maximalen Definitionsbereich für die Funktion MV(r). Geben Sie einen Definitionsbereich für MV(r) an, der für die gegebene Sachsituation
sinnvoll ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (7 Punkte)
c) Skizzieren Sie den Graphen von M200(r) mit 0<r≤10 in ein Koordinatensystem.
Zeichnen Sie in Ihrer Skizze die Extrempunkte der Funktion ein und interpretieren Sie
deren Bedeutung im vorliegenden Sachzusammenhang. (6 Punkte)
d) Ermitteln Sie für ein konstantes Volumen V einen Radius r, bei dem der geringste Materialverbrauch
für die Oberfläche erreicht wird, und geben Sie den Materialverbrauchswert
an. (9 Punkte)
e)(1) Eine Herstellerfirma wirbt für eine optimale Verpackung in einer halbzylindrischen
Form, die bei einem Radius von r= 5,2cm den geringsten Materialverbrauch
für die Oberfläche aufweist.
Ermitteln Sie das Volumen und die Oberfläche dieser optimalen Verpackung.
(7 Punkte)
[Zur Kontrolle: V ≈ 269,91cm3 ,M ≈ 254,85cm2 ]
e)(2) Für eine formschöne Verpackung soll die Höhe doppelt so groß sein wie der Radius. Vergleichen Sie den Materialverbrauch und den Radius der optimalen Verpackung
aus e)(1) mit den entsprechenden Werten der formschönen Verpackung.
(9 Punkte)
f) Die Abhängigkeit des Materialverbrauchs vom Volumen kann durch die folgende Schar
von Halbgeraden beschrieben werden: Mr(v)=
2(Π+2)
----V+Πxr2Ve IR, re IR
Πxr |
Ich hab probleme beim Verstehen der Aufgaben, brauche dringend erklärungen wie ich was zu berrechnen hab. Als halbzylinder sollte man sich eine Duploverpackung vorstellen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.onlinemathe.de/forum/Mathe-Facharbeit]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das volumen eines Vollzylinders kannst du hinschreiben, dann halbieren .Hurra das Volumen hast du
Oberflaeche= Material. Wieder Vollzylinder halbieren, dazu das Rechteck fuer die Abdecung des halbierten Zylinders.
fertig.
Damit loest du a.
in b einfach h und r statt Zahlen stehen lassen.Dann aus V h(r) ausrechnen in O=MV einsetzen.
Nun leg mal los, schreib auf was du hast, und frag an den Stellen, wo du nicht wieter kommst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
Wie meinst du das mit der Aufgabe b) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte nicht genau hingesehen, was ich geschrieben habe gilt fuer a)
Wenn du a) hast musst du doch nur den Def. Bereich angeben, und dabei ueberlegen, welche r ueberhaupt sinnvoll sind.
also zeig erst mal das Ergebnis von a) vor, dann ueberleg b) und sag, was du dabei nicht kannst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
den Satz aus deiner 1. Antwort: ,,in b einfach h und r statt Zahlen stehen lassen.Dann aus V h(r) ausrechnen in O=MV einsetzen. ''
versteh ich nicht ganz und nochmal: heisst es ich kann selbst den definitionbereich schätzen ohne dabei eine rechnung aufzustellen? ( natührlich einen realistischen Bereich)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
Ok hab das nun mit dem Satz verstanden jetzt kommts: ich hab zwar die Lösungen der Aufgabe aber die sind irrelevant, es kommt auf das Verständnis an wie man drauf kommt als lösung von a) steht da dann:
2Vx(Pi+2)
Mv(r) = Pi x [mm] r^2 [/mm] + ________
Pi x r
und ich versteh nicht wie man dadrauf kommt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
Im 2. Teil von a) muss ich ja für h den wert aus dem 1. teil von a) einsetzen
2V
(h= ___ )
Pi * [mm] r^2 [/mm]
ok Mv(r) ergänzt sich ja aus M(kreis)+M(halbzylinder)+M(rechteck)
pi * [mm] r^2+ [/mm] pi * r * h + 2r * h
da muss ich halt für h den wert (s.o.) einsetzen und als Ergebniss sollte rauskommen : 2V (pi + 2)
Mv(r)= Pi * [mm] r^2 [/mm] +________
pi * r
Das Problem ist, dass ich nicht auf das ergebniss komme,
kann mir jemand erklären wie es dazu kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Im 2. Teil von a) muss ich ja für h den wert aus dem 1.
> teil von a) einsetzen
> 2V
> (h= ___ )
> Pi * [mm]r^2[/mm]
>
> ok Mv(r) ergänzt sich ja aus
> M(kreis)+M(halbzylinder)+M(rechteck)
> pi * [mm]r^2+[/mm] pi * r * h
> + 2r * h
[mm] $MV=\pi r^2+\ [/mm] pi * r * h + 2r * h [mm] =\pi*r^2 +h*r*(\pi+2)$
[/mm]
jetzt h einsetzen :
[mm] $\pi*r^2 +h*r*(\pi+2)=\pi*r^2+\bruch{2V}{\pi*r^2}*r*(\pi+2)$
[/mm]
Das Kuerzen solltest du jetzt noch hinkriegen (-;
Definitionsbereich: Dass r Und V grosser 0 sein sollten ist klar. irgendwie kann man dann noch sagen, dass h im Verhaeltnis zu r nicht zu gross sein sollte, aber auch nicht zu klein, wenn das ne Verpackung sein soll.
Aber da kannst du dir selbst was vernuenftiges ueberlegen, wenn du mal ean ein Duplo denkst, mal an sowas wie ne Sardinendose in der Form. und das musst du dann nicht von h und r sondern von V und r angeben.
c) skizze kannst du sicher, fur V=200,
Fuer das Min und oder max. nach r differenzieren und M'=0
Interpretation ist schon beinahe in d)
d) statt V=200 jetzt allgemein V und Minimum berechnen.
Wenn du d) vor c) machst spart das Arbeit.
Wenn du das alles hast sollte der Rst laufen, sonst frag wieder.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
So leid es mir tut dich mit meinen Fragen zu quälen aber ich versteh nicht weshalb du $ [mm] MV=\pi r^2+\ [/mm] pi [mm] \cdot{} [/mm] r [mm] \cdot{} [/mm] h + 2r [mm] \cdot{} [/mm] h [mm] =\pi\cdot{}r^2 +h\cdot{}r\cdot{}(\pi+2) [/mm] $ eine klammer setzt. Da komm ich leider nciht mehr mit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 12.03.2009 | | Autor: | xPae |
> So leid es mir tut dich mit meinen Fragen zu quälen aber
> ich versteh nicht weshalb du [mm]MV=\pi r^2+\ pi \cdot{} r \cdot{} h + 2r \cdot{} h =\pi\cdot{}r^2 +h\cdot{}r\cdot{}(\pi+2)[/mm]
> eine klammer setzt. Da komm ich leider nciht mehr mit.
schau dir das genauer an, hier wurde h*r ausgeklammert
aus [mm] \pi*r²+\pi*r*h+2*r*h
[/mm]
wurde:
[mm] \pi*r²+h*r(\pi+2)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 12.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
ok danke^^, jetzt ists bissl peinlich hab die ganze zeit die klammer falsch aufgelöst um auf die vorherige formel zurück zu kommen^^
VIELEN dank euch beiden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Fr 13.03.2009 | | Autor: | blaze033 |
Hi Leduart,
Wie meinst du das mit d) statt v= 200 , allgemein V einsetzen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo blaze!
Belasse in der Formel (Zielfunktion) den Parameter $V_$ , ohne den konkreten Zahlenwert 200 einzusetzen. Behandel $V_$ aber stets wie eine feste Zahl.
Damit wirst Du am Ende auch Ergebnis mit allgemeinen $V_$ erhalten.
Gruß
Loddar
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