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ICh habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo Leute!
Bei meinen Wiederholungen der Dinge, die ich in der Uni verpasst habe, bin ich jetzt auf Halbseitige Grenzwerte gestoßen.
Kann mir jemand sagen , wie ich die berechne?
Ein Beispiel wäre da: [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{sin x}{x}
[/mm]
ICh weiß, dass man manchmal einfach den Grenzwert einsetzt.Hier ist aber das Problem, dass ich für x Null ja nicht einsetzen kann, da eine Division durch Null nicht erlaut ist.
Wäre für jede Art der Hlfe dankbar!
LIebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tintenfisch,
> ICh habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Hallo Leute!
> Bei meinen Wiederholungen der Dinge, die ich in der Uni
> verpasst habe, bin ich jetzt auf Halbseitige Grenzwerte
> gestoßen.
> Kann mir jemand sagen , wie ich die berechne?
> Ein Beispiel wäre da: [mm]\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{sin x}{x}
[/mm]
Ich nehme an, die Aufgabe lautet korrekt:
Es ist [mm]\limes_{\red{x} \red{\to} \red{0^+}} \bruch{\sin x}{x}[/mm]
zu berechnen!
(Oder $x [mm] \to [/mm] 0^-$, das geht aber genauso. $x [mm] \to [/mm] 0$ nehme ich nicht an (was aber auch so bzw. analog ginge wie im Folgenden beschrieben!) Wozu schreibst du sonst Halbseitige Grenzwerte in der Überschrift?)
Nun zu deiner Aufgabe:
Da [mm] $\limes_{x \to 0^+} [\sin(x)]=0=\limes_{x \to 0^+}x$ [/mm] gilt, und da [m]f:\IR \to \IR[/m] mit [mm] $f(x):=\sin(x)$ ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] und [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] definiert durch $g(x):=x$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] diff'bar sind (insbesondere in [mm] $x_0=0$), [/mm] und da $g'(x)=1 [mm] \not=0$ ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] gilt, kannst du die Regel von ![[]](/images/popup.gif) "de l'Hôpital" anwenden (vgl. auch http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Satz 13.22, S. 126 f., skriptinterne Zählung)
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:22 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Tintenfisch |
Also betrachte ich zunächst den Zähler,richtig? Und dannschaue ich mir die Ableitng des Nenners an? Anscheinend ist das ein bisschen anders als im Skript,aberdas macht gar nichts. NUr ganz durchgestiegen bin ich durch das ganze durch deine Ausführungen nochnicht. Ich setze also Null für x im Zähler,im Nenner geht dies ja nicht. Deshalb nutze ich die Ableitung,und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Do 23.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tintenfisch,
> Also betrachte ich zunächst den Zähler,richtig? Und dannschaue ich mir
> die Ableitng des Nenners an? Anscheinend ist das ein bisschen anders
> als im Skript,aberdas macht gar nichts. NUr ganz durchgestiegen bin ich
> durch das ganze durch deine Ausführungen nochnicht.
In meinen Ausführungen habe ich nur begründet, warum man den Satz von de L'Hôpital (so, wie er im Skript steht) anwenden darf, mehr nicht!
> Ich setze also
> Null für x im Zähler,im Nenner geht dies ja nicht. Deshalb nutze ich die
> Ableitung,und dann?
Du hast hier, wie im Skript steht, einen Fall "0/0" bei der Grenzwertbetrachtung vorliegen. Daher denkt man dann direkt an "de L'Hôpital" (oder sollte daran denken  ).
Aber okay, ich schreibe dir mal noch den ersten Schritt hin. Den nächsten machst du dann alleine, dann bist du nämlich schon so gut wie fertig (falls es Probleme gibt, frag bitte nochmal konkret nach):
Es gilt:
[m]\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}\stackrel{de\,L'H\hat{o}pital}{=}\lim_{x \to 0^+}\frac{[\sin(x)]'}{[x]'}[/m].
[Zur Erinnerung/Erläuterung:
Mit [mm] $[\sin(x)]'$ [/mm] ist die Ableitung des Sinus gemeint (also genauer: die Ableitung der Funktion $f$, wobei [m]f:\IR \to \IR[/m] mit [mm] $f(x):=\sin(x)$ ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] definiert war) und mit $[x]'$ ist, genauer, die Ableitung der Funktion [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] definiert durch $g(x):=x$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$) [/mm] gemeint.
Ich denke, du kannst für beide Funktionen (also $f$ bzw. $g$) die Ableitung angeben, oder?]
Viele Grüße,
Marcel
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