Halbring, Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
h:={ [mm] ]a_{1} ,b_{1} ]\times ]a_{2} ,b_{2}] [/mm] : [mm] a_{j} ,b_{j} \in \IR [/mm] } ist ein Halbring, aber keine [mm] \sigma [/mm] -Algebra. |
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das zeigen soll (...ich weiß, die Aufgabe sollte mir eigentlich leicht fallen....); ich poste mal meine Ideen:
Zeige Halbring, also z.z.:
1. [mm] \emptyset \in [/mm] h gilt, falls [mm] a_{1} =b_{1} [/mm] oder [mm] a_{2} =b_{2}
[/mm]
2. Der Durchschnitt zweier Elemente aus h soll auch [mm] \in [/mm] h sein.
Ich betrachte als Elemente aus h mal:
[mm] ]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}] [/mm] und [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}]
[/mm]
Der Schnitt ist anschulich klar, ist wieder ein Rechteck, aber wie zeige ich, dass der Schnitt wieder [mm] \ic [/mm] h ist?
3. Mit dem 3. Teil der Definition von Halbring kann ich nicht o viel anfangen.
Heißt das, dass ich eine gewisse Anzahl an [mm] ]e_{1} ,f_{1} ]\times ]e_{2} ,f_{2}] [/mm] -Paaren finde, so dass sich [mm] ]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}] [/mm] \ [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}]
[/mm]
als disjunkte Vereinigung der [mm] ]e_{1} ,f_{1} ]\times ]e_{2} ,f_{2}] [/mm] -Paare schreiben lässt, sofern [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in ]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}] [/mm] ?
Wenn ja, kann ich mir das auch vorstellen, weiß aber nicht, wie man das schreibt.
h ist keine [mm] \sigma [/mm] -Algebra, weil das Komplement eines Elements aus h nicht in h liegt. Das Komplement eines Paares [mm] ]a_{1} ,b_{1} ]\times ]a_{2} ,b_{2}] [/mm] hat nicht wieder diese Form.
Stimmt das?
Es wäre super, wenn mir jemand diese Sachen etwas besser erklären könnte; ich habe leider ein Problem, die Definition auf den Fall der Aufgabe anzuwenden.
Dank euch schonmal! Gruß!
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Hallo,
bei dem Nachweis der Halbringeigenschaften musst du die Rechenregeln fürs kartesische Produkt ausnutzen, also:
> 2. Der Durchschnitt zweier Elemente aus h soll auch [mm]\in[/mm] h
> sein.
> Ich betrachte als Elemente aus h mal:
> [mm]]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm] und [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}][/mm]
Sei [mm] ]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}] \in [/mm] h und [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in [/mm] h, dann gilt:
[mm] (]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) \cap ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] [/mm] = [mm] (]a_{1} ,b_{1}] \cap ]c_{1} ,d_{1}]) \times (]a_{2} ,b_{2}] \cap ]c_{2} ,d_{2}]). [/mm] Was sagt dir das?
> 3. Mit dem 3. Teil der Definition von Halbring kann ich
> nicht so viel anfangen.
> Heißt das, dass ich eine gewisse Anzahl an [mm]]e_{1} ,f_{1} ]\times ]e_{2} ,f_{2}][/mm]
> -Paaren finde, so dass sich [mm]]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm]
> \ [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}][/mm]
> als disjunkte
> Vereinigung der [mm]]e_{1} ,f_{1} ]\times ]e_{2} ,f_{2}][/mm] -Paare
> schreiben lässt, sofern [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in ]a_{1} ,b_{1}]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm]
> ?
Auch hier gelte wieder das Sei [mm] ]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}] \in [/mm] h und [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in [/mm] h. Man schreibt dann:
[mm] (]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) [/mm] - [mm] ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] [/mm] (das - steht jetzt hier mal für die Differenz ) = [mm] (]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) \cap [/mm] ( [mm] (]c_{1},d_{1}])x(]c_{2},d_{2}]) )^{c}. [/mm] Und jetzt machst du am einfachsten eine Fallunterscheidung.
> h ist keine [mm]\sigma[/mm] -Algebra, weil das Komplement eines
> Elements aus h nicht in h liegt. Das Komplement eines
> Paares [mm]]a_{1} ,b_{1} ]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm] hat nicht
> wieder diese Form.
>
> Stimmt das?
Probier es mal so: Nimm [mm] (]a_{1} ,b_{1}] [/mm] x [mm] ]a_{2} ,b_{2}]) \cup (]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}]), [/mm] wähle die mengen geeignet und du wirst sehen, dass die Vereinigung nicht in h liegt.
Ich hoffe das hilft.
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 09.12.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
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> Sei [mm]]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}] \in[/mm] h und [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in[/mm]
> h, dann gilt:
>
> [mm](]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) \cap ]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}][/mm]
> = [mm](]a_{1} ,b_{1}] \cap ]c_{1} ,d_{1}]) \times (]a_{2} ,b_{2}] \cap ]c_{2} ,d_{2}]).[/mm]
> Was sagt dir das?
Das sagt mir, dass ich die Intervalle einzeln schneiden muss, und der Schnitt ist wieder jew. ein reelles Intervall. Daraus kann ich dann das kart. Produkt bilden, d.h. das Kart. Produkt aus den "Schnitt-Intervallen" ist [mm] \in [/mm] h.
Fallunterscheidung: Wenn der Schnitt zweier Intrvalle [mm] =\emptyset [/mm] ist, ist auch das kart. Produkt [mm] =\emptyset [/mm] , und [mm] \emptyset \in [/mm] h gilt ja.
Fall 2, der Schnitt ist nicht leer, dann argumentiere ich wie oben (Schnitt zweier Intervalle....)
Gehts das so?
>
> > 3. Mit dem 3. Teil der Definition von Halbring kann ich
> > nicht so viel anfangen.
>
> Auch hier gelte wieder das Sei [mm]]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}] \in[/mm]
> h und [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in[/mm] h. Man
> schreibt dann:
>
> [mm](]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}])[/mm] - [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}][/mm]
> (das - steht jetzt hier mal für die Differenz ) = [mm](]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) \cap[/mm]
> ( [mm](]c_{1},d_{1}])x(]c_{2},d_{2}]) )^{c}.[/mm] Und jetzt machst
> du am einfachsten eine Fallunterscheidung.
>
OK, das mach ich im Prinzip wie bei Fall zwei, nicht?
> > h ist keine [mm]\sigma[/mm] -Algebra, weil das Komplement eines
> > Elements aus h nicht in h liegt. Das Komplement eines
> > Paares [mm]]a_{1} ,b_{1} ]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm] hat nicht
> > wieder diese Form.
> >
> > Stimmt das?
>
> Probier es mal so: Nimm [mm](]a_{1} ,b_{1}][/mm] x [mm]]a_{2} ,b_{2}]) \cup (]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}]),[/mm]
> wähle die mengen geeignet und du wirst sehen, dass die
> Vereinigung nicht in h liegt.
Genau, ich wähle Z.B (0,1]x(0,1], das Komplement von (betrachte erstmal nur ein Intervall) (0,1] ist [mm] (-\infty ,0]\cup (1,+\infty [/mm] ), das passt nicht in h, also Widerspruch!
Richtig?
>
> Ich hoffe das hilft.
> Grüße, Steffen
>
Dank dir! Gruß!
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Hallo,
> Das sagt mir, dass ich die Intervalle einzeln schneiden
> muss, und der Schnitt ist wieder jew. ein reelles
> Intervall. Daraus kann ich dann das kart. Produkt bilden,
> d.h. das Kart. Produkt aus den "Schnitt-Intervallen" ist
> [mm]\in[/mm] h.
>
> Fallunterscheidung: Wenn der Schnitt zweier Intrvalle
> [mm]=\emptyset[/mm] ist, ist auch das kart. Produkt [mm]=\emptyset[/mm] , und
> [mm]\emptyset \in[/mm] h gilt ja.
> Fall 2, der Schnitt ist nicht leer, dann argumentiere ich
> wie oben (Schnitt zweier Intervalle....)
> Gehts das so?
Exakt. Einmal ist der Schnitt leer und damit das kartesische Produkt [mm] \in [/mm] h und das andere Mal ist es ein halboffenes Intervall und damit das kartesische Produkt [mm] \in [/mm] h.
> > > 3. Mit dem 3. Teil der Definition von Halbring kann ich
> > > nicht so viel anfangen.
> >
> > Auch hier gelte wieder das Sei [mm]]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}] \in[/mm]
> > h und [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}] \in[/mm] h. Man
> > schreibt dann:
> >
> > [mm](]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}])[/mm] - [mm]]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}][/mm]
> > (das - steht jetzt hier mal für die Differenz ) = [mm](]a_{1} ,b_{1}] \times ]a_{2} ,b_{2}]) \cap[/mm]
> > ( [mm](]c_{1},d_{1}])x(]c_{2},d_{2}]) )^{c}.[/mm] Und jetzt machst
> > du am einfachsten eine Fallunterscheidung.
> >
> OK, das mach ich im Prinzip wie bei Fall zwei, nicht?
Genau!!
>
> > > h ist keine [mm]\sigma[/mm] -Algebra, weil das Komplement eines
> > > Elements aus h nicht in h liegt. Das Komplement eines
> > > Paares [mm]]a_{1} ,b_{1} ]\times ]a_{2} ,b_{2}][/mm] hat nicht
> > > wieder diese Form.
> > >
> > > Stimmt das?
> >
> > Probier es mal so: Nimm [mm](]a_{1} ,b_{1}][/mm] x [mm]]a_{2} ,b_{2}]) \cup (]c_{1} ,d_{1}]\times ]c_{2} ,d_{2}]),[/mm]
> > wähle die mengen geeignet und du wirst sehen, dass die
> > Vereinigung nicht in h liegt.
>
> Genau, ich wähle Z.B (0,1]x(0,1], das Komplement von
> (betrachte erstmal nur ein Intervall) (0,1] ist [mm](-\infty ,0]\cup (1,+\infty[/mm]
> ), das passt nicht in h, also Widerspruch!
>
> Richtig?
> >
Ja (ich hatte mich verschrieben), denn allgemein gilt [mm] ]a_{1} ,b_{1}] [/mm] x [mm] ]a_{2} ,b_{2}]) \cup (]a_{1} ,b_{1}])^{c} \times (]a_{2} ,b_{2}])^{c} \not\in [/mm] h.
Ihr führt wohl gerade die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] ein, da ist der erste Schritt zu zeigen, dass h keine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Viel Spaß dabei,
Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Do 11.12.2008 | | Autor: | Casy |
> Ihr führt wohl gerade die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm] ein, da
> ist der erste Schritt zu zeigen, dass h keine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
>
...genau, so ist es.
Danke für die Hilfe, hab's jetzt verstanden, wie ich da rangehe.
Viele Grüße!
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