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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Suika |
| Aufgabe | Geben Sie eine drei-elementige Menge M und einer Halbordnung R mit den folgenden Eigenschaften bezüglich R an:
(a) Es gibt ein kleinstes Element und zwei maximale Elemente
... |
Hallo Leute,
ich verstehe nicht was mit kleinstes bzw. maximales Element gemeint ist.
Bitte um einen Tipp zur Lösung der Aufgabe.
Vielen Dank,
S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Sa 06.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich verstehe nicht was mit kleinstes bzw. maximales Element
> gemeint ist.
In einer Halbordnung kann es im Gegensatz zur Totalordnung auch Elemente geben, die sich nicht vergleichen lassen, deshalb muss man unterscheiden zwischen minimalen und kleinsten Elementen.
Ein Element m heißt minimal, falls jedes andere Element, dass sich überhaupt mit m vergleichen lässt, "größergleich" m ist. M. a. W.: Es gibt kein Element, das kleiner ist als m.
Ein Element k heißt kleinstes Element, wenn jedes Element größergleich k ist (insbesondere muss jedes Element mit k vergleichbar sein). Es kann offenbar nur ein kleinstes Element geben, also können wir auch von dem kleinsten Element sprechen - falls existent.
Ein Beispiel: Betrachte die Menge der natürlichen Zahlen [mm] $X=\{1,2,3,...\}$ [/mm] mit der Halbordnung [mm] $n\sim m\gdw [/mm] n|m$, Dann ist 1 das kleinste Element. Nehmen wir jetzt jedoch die 1 aus X raus, so gibt es unendlich viele minimale Elemente (Primzahlen), aber keines davon ist "das kleinste".
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 07.12.2008 | | Autor: | Suika |
Hallo und danke für die Antwort,
sehe ich das also richtig, dass mit
[mm] M = \{1,3,5\} \, \,
R = \{(1,1),(3,3),(5,5),(1,3),(1,5)\} [/mm]
die Aufgabe gelöst ist?
Wie sähe dann eine Halbordnung aus, in der es 2 minimale und 2 maximale Elemente gibt. (Voraussetzung immer noch #M = 3)
Grüße,
S.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> sehe ich das also richtig, dass mit
> [mm]M = \{1,3,5\} \, \,R = \{(1,1),(3,3),(5,5),(1,3),(1,5)\}[/mm]
> die Aufgabe gelöst ist?
Ja.
> Wie sähe dann eine Halbordnung aus, in der es 2 minimale
> und 2 maximale Elemente gibt. (Voraussetzung immer noch #M= 3)
Es muss ja auf jeden Fall ein ein Element geben, dass minimal und maximal zugleich ist. D.h. dieses Element steht nur mit sich selbst in Relation. Jetzt bleiben nicht sehr viele Möglichkeiten übrig... 
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier an und veranschauliche dir deine beiden konstruierten Halbordnungen damit... Anschauung ist unschätzbar wichtig in der Mathematik...
Gruß, Robert
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