Halbkreis integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 29.06.2008 | | Autor: | DannyL |
ich möchte von einem Halbkreis den Flächeninhalt ausrechnen mit radius = 1
dies habe ich erstmal über
A = [mm] \bruch{\pi * r²}{2}
[/mm]
oder
A = [mm] \bruch{\pi }{4} [/mm] * d² * [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
mit einem Radius = 1 --> A = 1,570796327
Jetzt habe ich mir überlegt, da ich nur bestimmte strecken von diesem Halbkreis integrieren will, nehme ich die Funktion
f(x) = [mm] \wurzel{1 - x²}
[/mm]
jetzt brauche ich das ja nur noch integrieren und fertig!
da ist aber schon dass problem!
ich habe ein buch gefunden in dem steht, bei diesem fall soll man substituieren und zwar im
Fall
[mm] \wurzel{a² - x²} [/mm]
mit
x = a * sin u
dx = a * cos u * du
dann setze ich alles einfach ein und komme auf
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1 - sin²u} * cos u * du}
[/mm]
über den trigonomischen phytagoras komkann ich es umformen in
[mm] \integral_{}^{}{cos u * cos u * du} [/mm]
--> [mm] \integral_{}^{}{cos ² u * du}
[/mm]
dann habe ich mir aus einer integraltabelle volgendes geholt
[mm] \integral_{}^{}{cos ² ax * dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] * sin 2ax
--> damit komme ich auf
[mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * sin2x
so setze ich in die integrationsgrenzen jetzt -1 bis 1 ein komme ich auf
gesamt --> 1,017449748
Und jetzt die Frage: müsste hier nicht das gleich raus kommen wie bei der ersten berechnung des Flächeninhaltes??
danke schon mal im voraus
Gruß Danny
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Du hast falsch substituiert. Bzw. du hast das dx falsch ersetzt.
Korrekt wäre statt [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1 - sin²u} \cdot{} cos u \cdot{} du} [/mm] dieses hier: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{1 - sin²u}}{cos u} \cdot{} du}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 29.06.2008 | | Autor: | DannyL |
warum ist das denn falsch supstituiert?
die aussage ist:
x = a * sin u
dann muss ich x nach u ableiten das heißt
dx / du = a * cos u
das heißt
dx = a* cos u * du
also müsste schon richtig substituiert sein
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{1 - sin²u}}{cos u} \cdot{} du} [/mm]
das würde ja gar kein sinn machen
denn dann bekomme ich
cos / cos u = 1 --> somit wäre das integral x
damit wäre das integrierte ergebnis auch falsch
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Hallo DannyL,
> warum ist das denn falsch supstituiert?
Du hast vollkommen richtig substituiert.
Nur hast Du die falschen Grenzen eingesetzt.
Mit der Substitution ändern sich auch die Grenzen:
[mm]x=-1=\sin\left(u\right) \Rightarrow u=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]x=+1=\sin\left(u\right) \Rightarrow u=+\bruch{\pi}{2}[/mm]
Demnach ist das Integral
[mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{+\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2}\left(u\right) \ du}[/mm]
zu berechnen.
>
> die aussage ist:
>
> x = a * sin u
>
> dann muss ich x nach u ableiten das heißt
>
> dx / du = a * cos u
>
> das heißt
>
> dx = a* cos u * du
>
> also müsste schon richtig substituiert sein
>
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{1 - sin²u}}{cos u} \cdot{} du}[/mm]
> das würde ja gar kein sinn machen
> denn dann bekomme ich
>
> cos / cos u = 1 --> somit wäre das integral x
>
> damit wäre das integrierte ergebnis auch falsch
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:37 So 29.06.2008 | | Autor: | DannyL |
ok das leuchtet mir ein :)
aber ich komme immer noch nicht aufs richtige ergebnis.
gruß danny
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> ok das leuchtet mir ein :)
>
> aber ich komme immer noch nicht aufs richtige ergebnis.
Hallo,
dann solltst Du mal ausführlich vorrechnen. Sonst kann man ja nicht sehen, was verkehrt läuft.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 29.06.2008 | | Autor: | chrisno |
Mit der Substitution verändern sich auch die Grenzen innerhalb derer das Integral ausgewertet werden muss.
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