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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Di 05.07.2011 | | Autor: | Braten |
| Aufgabe | | U [mm] \subset [/mm] V ein endlich dimensionaler Unterraum eines Banachraumes B, dann existiert ein abgeschlossener Unterraum W, s.d. U [mm] \oplus [/mm] W = B. |
Also ich denke, dass dies eigentlich so gehen müsste, bin mir aber nicht sicher:
Also U ist sicherlich abgeschlossen in B. Nun muss ich noch zeigen, dass U offen in B ist. Dann wäre die Behauptung schon bewiesen.
Wie kann man das am besten zeigen? Wenn ich eine beliebige Norm wählen dürfte, wäre das eigentlich kein Problem. Aber darf ich das überhaupt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 05.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> U [mm]\subset[/mm] V ein endlich dimensionaler Unterraum eines
> Banachraumes B, dann existiert ein abgeschlossener
> Unterraum W, s.d. U [mm]\oplus[/mm] W = B.
>
> Also ich denke, dass dies eigentlich so gehen müsste, bin
> mir aber nicht sicher:
>
> Also U ist sicherlich abgeschlossen in B. Nun muss ich noch
> zeigen, dass U offen in B ist.
Wie kommst Du darauf ? Wenn U offen und abgeschlossen ist, so ist U= [mm] \emptyset [/mm] oder U=B !!
> Dann wäre die Behauptung
> schon bewiesen.
Nein.
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> Wie kann man das am besten zeigen? Wenn ich eine beliebige
> Norm wählen dürfte, wäre das eigentlich kein Problem.
> Aber darf ich das überhaupt?
Nein, natürlich nicht !!!
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 05.07.2011 | | Autor: | Braten |
Danke! Mittlerweile ist mir das auch aufgefallen.
Man müsste zeigen, dass B/W offen ist! wie kann man das machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 05.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Mittlerweile ist mir das auch aufgefallen.
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> Man müsste zeigen, dass B/W offen ist! wie kann man das
> machen?
Dir ist nicht klar, was Du zeigen sollst.
Zeigen sollst Du die Existenz eines abgeschlossenen Unterraumes W mit
$B=U [mm] \oplus [/mm] W$
Sei $ [mm] \{x_1,...,x_n\}$ [/mm] eine Basis von U, Nach Hahn-Banach gibt es stetige Funktionale [mm] f_1,..., f_n [/mm] mit
[mm] f_i(x_k)= \delta_{ik}
[/mm]
Definiere P:B [mm] \to [/mm] B durch
$ [mm] P(x)=\summe_{i=1}^{n}f_i(x)*x_i$
[/mm]
Zeige:
P ist linear, P ist stetig , [mm] P^2=P [/mm] , P(B)=U und $B=U [mm] \oplus [/mm] Kern(P)$
Da P stetig ist, ist W:=Kern(P) abgeschlossen.
FRED
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