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Hallo!
Ich würde mein Problem am liebsten an einem Beispiel erörtern:
Es sind zu bestimmen: Häufungswerte, lim inf und lim sup der Zahlenfolge (an) nN
an = [mm] n(1+(-1)^n)
[/mm]
Also bestimme ich zuerst wohl die Teilfolgen von (an).
- für n = 2k, kN gilt: 2k (1+1) = 4k
=> Teilfolge divergent
----Wenn eine Teilfolge (ank) der Folge (an) unbeschräkt ist, so hat (an) für die Teilfolge (ank) ja keinen Häufungswert (wenn n gegen unendlich). Oder doch? ----
- für n = 2k-1 gilt: 2k-1(1-1) = 0
=> 0 ist Häufungswert von (an)
---- Wenn also (an) nur einen Häufungspunkt besitzt, nämlich 0, ist dann doch lim inf (an) = 0. Und lim sup (an) existiert in dem Fall ja nicht (weil (a2k) divergent). Oder? ---
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich würde mein Problem am liebsten an einem Beispiel
> erörtern:
>
> Es sind zu bestimmen: Häufungswerte, lim inf und lim sup
> der Zahlenfolge (an) nN
>
> an = [mm]n(1+(-1)^n)[/mm]
>
> Also bestimme ich zuerst wohl die Teilfolgen von (an).
"Die" Teilfolgen gibt es nicht, es gibt i.A. viele Teilfolgen einer Folge.
Was Du meinst ist, dass Du Teilfolgen bestimmst, die die ursprüngliche Folge "zerlegen".
> - für n = 2k, kN gilt: 2k (1+1) = 4k
>
> => Teilfolge divergent
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ----Wenn eine Teilfolge (ank) der Folge (an) unbeschräkt
> ist, so hat (an) für die Teilfolge (ank) ja keinen
> Häufungswert (wenn n gegen unendlich). Oder doch? ----
Doch, Deine Folge ist doch genau ein Beispiel dafür, oder nicht?
[mm] $(a_n)$ [/mm] hat einen Häufungspunkt (siehe unten), aber eine Teilfolge ist unbeschränkt.
Oder meinst Du, dass dann die Teilfolgen keinen Häufungswert hat? Das stimmt auch nicht, denn Deine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] könnte ja durchaus wiederum Teilfolge einer "Oberfolge" sein; dann hätten sowohl Oberfolge als auch Deine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] einen Häufungswert und wären unbeschränkt.
[mm] $(a_n_k)$ [/mm] hat aber keinen Häufungswert, da sie monton wachsend und nach oben unbeschränkt ist.
> - für n = 2k-1 gilt: 2k-1(1-1) = 0
>
> => 0 ist Häufungswert von (an)
> ---- Wenn also (an) nur einen Häufungspunkt besitzt,
> nämlich 0, ist dann doch lim inf (an) = 0. Und lim sup (an)
> existiert in dem Fall ja nicht (weil (a2k) divergent).
> Oder? ---
Manchmal schreibt man aber auch, dass [mm] $\limsup a_n=\infty$, [/mm] er existiert also "uneigentlich"  In jedem Fall ist [mm] $\limsup a_n$ [/mm] aber nicht endlich.
Viele Grüße,
Marc
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