Häufungspunkte von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1:
Sei A [mm] \subseteq \IR. [/mm] Wir schreiben A* für die Menge der Häufungspunkte von A. Wir definieren induktiv:
[mm] A^{(0)}:=A
[/mm]
[mm] A^{(n)}:=A^{(n)} [/mm] *
Wir setzen ferner [mm] A^{(\omega)} [/mm] := [mm] \bigcap_{n \in \IN} A^{(n)} [/mm] und für n [mm] \in \IN [/mm] definieren wir dann [mm] A^{(\omega + n)}:=(A^{(\omega)})^{(n)} [/mm] und letztlich sei [mm] A^{(\omega *2)}:= \bigcap_{n \in \IN} A^{(\omega + n)}
[/mm]
(a)
Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Konstruieren sie eine abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] so, dass [mm] A^{(n)} \not= \emptyset. [/mm] Aber [mm] A^{(n)} [/mm] keine Häufungspunkte besitzt.
(b)
Konstruieren sie eine abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] so, dass [mm] A^{(\omega)} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Aber für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] A^{(n)} \not= \emptyset.
[/mm]
(c)
Konstruieren sie eine abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] so, dass [mm] A^{(\omega*2)} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Aber [mm] A^{(\omega*2)} [/mm] keinen Häufungspunkte besitzt.
Tipp: Sie können die Mengen so konstruieren, dass sie beschränkt sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe a:
vermutlich gilt
[mm] \{\bruch{1}{n} | n \in \IN \} [/mm] * = {0}
und
[mm] \{\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m} | n,m \in \IN \} [/mm] * = [mm] \{\bruch{1}{n} | n \in \IN \} \cup [/mm] {0}
Problem 1: Darf ich dies so annehmen, oder muss ich noch die gleuichheit der Mengen zeigen?
Falls ja, kommt problem 2:
Ich kann zu jedem Element x der rechten Seite eine Cauchyfolge aus der Ursprungsmenge konstruieren, sodass diese gegen x strebt. Damit also:
[mm] \{\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m} | n,m \in \IN \} [/mm] * [mm] \supseteq \{\bruch{1}{n} | n \in \IN \} \cup [/mm] {0}
Wie zeige ich nun, dass es nicht noch "mehr Häufungspunkte" gibt?
Wenn wir jetzt etwas unschön definieren:
[mm] \bigcup_{i=1}^{n}(\{ \summe_{k=1}^{i} \bruch{1}{u_i} | u_i \in \IN\} [/mm] )
also
[mm] \{0\} \cup \{\bruch{1}{u_1}| u_1 \in \IN\} \cup \{\bruch{1}{u_1} + \bruch{1}{u_2}| u_1,u_2 \in \IN\} \cup [/mm] ....
Dann ist diese Abgeschlossen und erfüllt die Bedingungen...
Zur 2 und 3 hab ich noch keine Idee.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 15.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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