Häufungspunkte von Mengen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie (wenn existierend) die Häufungspunkte folgender Mengen (Begründung!).
a) X= [mm] {x_n\in\IR|x_n=3+(-1)^{n}}
[/mm]
b) X= {x [mm] \in\IQ|x>0 \wedge x^2<2} [/mm] ; Häufungspunkte in [mm] \IR
[/mm]
c) X= [mm] ]0,2]\cup[2,3[ [/mm] |
Ich hab ein kleines Problem mit den Häufungspunkten. Der Professor hat gesagt es wäre vergleichbar mit den Grenzwerten von Folgen, also hab ich für a) erst mal folgendes gemacht:
a) [mm] x_n=3+(-1)^{n} [/mm] für alle positiven n [mm] 3+(-1)^{n}=2
[/mm]
für alle negativen n [mm] 3+(-1)^{n}=4
[/mm]
Würde bedeuten es gäbe zwei Häufungspunkte 2,4
Falls das richtig ist, wie ist das jetzt zu begründen?
b)da fehlt mir der Ansatz für eine Lösung und es wäre schön wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, genauso bei c).
Vielen Dank und ein gesundes neues Jahr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
> a) [mm]x_n=3+(-1)^{n}[/mm] für alle positiven n [mm]3+(-1)^{n}=2[/mm]
> für alle negativen n
> [mm]3+(-1)^{n}=4[/mm]
Da $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \red{\IN}$ [/mm] , gibt es ja nur positive Werte. Du meinst hier aber wohl $n \ [mm] \text{gerade}$ [/mm] bzw. $n \ [mm] \text{ungerade}$ [/mm] . Dann stimmt es.
> Würde bedeuten es gäbe zwei Häufungspunkte 2,4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls das richtig ist, wie ist das jetzt zu begründen?
Betrachte nun die beiden Teilfolgen [mm] $x_{2k} [/mm] \ = \ 4$ bzw. [mm] $x_{2k+1} [/mm] \ = \ 2$ und weise deren Grenzwert separat nach.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar für deine schnelle Antwort. Du hast natürlich recht, ich meine die ungeraden Zahlen.
Was ist mit den Teilfolgen gemeint und wie kommst du darauf?
[mm] x_{2k}=4 [/mm] und [mm] x_{2k+1}=2
[/mm]
Kann ich nicht nachvollziehen, leider
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
Diese Teilfolgen / Folgenwerte hast Du doch oben bereits selber ermittelt. Diese hängen doch davon ab, ob $n_$ nun gerade (also die Form $n \ = \ 2*k$ mit [mm] $k\in\IN$ [/mm] ) oder ungerade ($n \ = \ 2*k+1$ mit [mm] $k\in\IN$ [/mm] ) ist.
In unserem Falle werden ja nur die beiden Werte $2_$ bzw. $4_$ angenommen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 01.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie (wenn existierend) die Häufungspunkte
> folgender Mengen (Begründung!).
>
> a) [mm]X= \{x_n\in\IR|x_n=3+(-1)^{n}\}[/mm]
> b) [mm]X= \{x \in\IQ|x>0 \wedge x^2<2\}[/mm] ; Häufungspunkte in [mm]\IR[/mm]
> c) [mm]X= ]0,2]\cup[2,3[[/mm]
> Ich hab ein kleines Problem mit den Häufungspunkten. Der
> Professor hat gesagt es wäre vergleichbar mit den
> Grenzwerten von Folgen, also hab ich für a) erst mal
> folgendes gemacht:
>
> a) [mm]x_n=3+(-1)^{n}[/mm] für alle positiven n [mm]3+(-1)^{n}=2[/mm]
> für alle negativen n
> [mm]3+(-1)^{n}=4[/mm]
>
> Würde bedeuten es gäbe zwei Häufungspunkte 2,4
> Falls das richtig ist, wie ist das jetzt zu begründen?
Die Frage hier ist, ob in a) die Menge aller [mm] $x_n$ [/mm] gemeint ist, also die Menge [mm] $\{2,4,2,4,2,4,\dots\}$ [/mm] oder die Menge [mm] $\{2,4\}$. [/mm] Letztere hat nur zwei isolierte Punkte, die daher keine Häufungspunkte sind.
Nach der Bemerkung deines Professors vermute ich aber, dass die erste Menge gemeint ist.
> b)da fehlt mir der Ansatz für eine Lösung und es wäre schön
> wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, genauso bei c).
Überlege dir zunächst, wie die beiden Mengen aussehen: in b) ist $X = [mm] \IQ \cap (]-\sqrt{2},0[\cup]0,\sqrt{2}[ [/mm] ) $, also die Menge aller rationalen Zahlen im offenen Intervall [mm] $]-\sqrt{2},\sqrt{2}[$ [/mm] mit Ausnahme der 0, in c) kannst du die Menge X als ein einziges Intervall reeller Zahlen schreiben.
Zunächst hilft dir vielleicht eine der beiden folgenden Überlegungen:
1. Wenn [mm] $x\inX$ [/mm] ein Häufungspunkt ist, dann liegt in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von x mindestens ein weiterer Punkt. Das bedeutet insbesondere, dass in einem Intervall reeller Zahlen jeder Punkt ein Häufungspunkt ist.
2. Zu jedem Häufungspunkt $x$ von $X$ gibt es eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] in X, die gegen x konvergiert. (Das bedeutet nicht unbedingt, dass [mm] $x\in [/mm] X$ sein muss. Ein Beispiel wäre die Menge [mm] \{1/n\mid n\in \IN\} [/mm], deren Häufungspunkt 0 nicht dazugehört. Das ist bei Aufgabe b) wichtig.)
Viele Grüße
Rainer
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