Häufungspunkte folgendern Meng < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Häufungspunkte folgendern Mengen:
(a) [mm] U_r(0) [/mm] := [mm] \{z\in \IC | |z| < r \} [/mm] mit r > 0
(b) [mm] \{n | n\in\IN \} \subseteq \IR
[/mm]
(c) [mm] \{x_n | n\in \IN \}, [/mm] wobei [mm] ({x_n})_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \IC [/mm] ist |
Hallo,
Kann mir da jemand helfen. Ich würde sagen, dass (b) keine Häufungspunkte besitzt laut Definition von Häufungspunkten einer Menge. Oder lieg ich da falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bei der b) liegst du richtig.
Bei a) ist offenbar [mm] $\overline{U_r(0)}=\{z \in \IC\, : \, |z| \le r\}$ [/mm] die Menge der Häufungspunkte.
Und bei der c) musst du höllisch aufpassen, da hier die Häufungspunkte der Menge der Folgenglieder und nicht etwa der Folge selbst gesucht sind.
Unterscheide die beiden Fälle, dass die Folge konstant ist (dann gibt es keinen Häufungspunkt, da die Menge dann nur ein Element enthält und somit in keiner Umgebung dieses Elementes ein davon verschiedenes Element der Menge liegt!) oder nicht-konstant ist (dann ist der Grenzwert der einzige Häufungspunkt).
Liebe Grüße
Stefan
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Vielen Dank.
Zu (a) noch mal eine kurze Nachfrage mit [mm] \overline{U_r(0)} [/mm] = [mm] \{z\in \IC | \vmat{z} \le r \} [/mm] ist doch quasi der Limes Superior von der Menge gemeint oder?, also wäre doch dann der Limes Superior gleich r, oder sehe ich das falsch?
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Hallo,
Stefan meinte nicht einen Limes Superior, sondern den Abschluss der offenen
Kugel mit Radius r um 0, also die Menge aller Punkte in [mm] \IC, [/mm] die Betrag leq r haben.
Allgemein ist für [mm] U\subseteq \IC [/mm] mit [mm] \overline{U} [/mm] der topologische Abschluss von U
bezeichnet, also die kleinste abgeschlossene Menge A, die U enth"alt.
Viele Gruesse,
Mathias
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