Häufungspunkte beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
[mm] $\left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN}$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zu dieser Aufgabe korrigieren könnte:
Zunächst die Definition für den Häufungspunkt:
h ist Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_{n})$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\forall n_{0} \in \IN$ $\exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge n_{0} \wedge \left| a_{n}-h \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$
[/mm]
Teilaufgabe a):
Für h = 1:
[mm] $\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-1 \right|=1+\bruch{1}{n}+1=2+\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $2+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] - 2 [mm] \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 2}$
[/mm]
Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $n_{0}=\bruch{1}{\varepsilon - 2}$ [/mm] sodass für alle [mm] $n>n_{0}$ [/mm] gilt [mm] $\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-1 \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Für h = -1:
[mm] $\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-(-1) \right|=1+\bruch{1}{n}+1=2+\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $2+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] - 2 [mm] \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 2}$
[/mm]
Damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $n_{0}=\bruch{1}{\varepsilon - 2}$ [/mm] sodass für alle [mm] $n>n_{0}$ [/mm] gilt [mm] $\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-(-1) \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Teilaufgabe b):
[mm] $\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-0 \right|=1+\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $1+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] - 1 [mm] \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 1}$
[/mm]
Begründung:
Da $-1<0<1$ und [mm] $\bruch{1}{\varepsilon - 1}<\bruch{1}{\varepsilon - 2}$ [/mm] kann es kein h=0 geben.
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Folge betrachtet werden:
>
> [mm]\left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge
> sind.
>
> b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist.
> Hallo,
>
> es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zu dieser
> Aufgabe korrigieren könnte:
>
> Zunächst die Definition für den Häufungspunkt:
>
> h ist Häufungspunkt der Folge [mm](a_{n})[/mm]
> [mm]\gdw \forall \varepsilon > 0[/mm] [mm]\forall n_{0} \in \IN[/mm] [mm]\exists n \in \IN : n \ge n_{0} \wedge \left| a_{n}-h \right| < \varepsilon.[/mm]
>
>
> Teilaufgabe a):
>
> Für h = 1:
>
> [mm]\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-1 \right|=1+\bruch{1}{n}+1[/mm]
Was ist das denn ? Das ist doch nur richtig, wenn n ungerade ist !
> [mm] =2+\bruch{1}{n}<\varepsilon[/mm]
Unfug ! Dann hättest Du ja: 2< [mm] \varepsilon [/mm] !!!!
>
> [mm]2+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} < \varepsilon - 2 \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 2}[/mm]
>
> Damit für jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] ein
> [mm]n_{0}=\bruch{1}{\varepsilon - 2}[/mm] sodass für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> gilt [mm]\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-1 \right|<\varepsilon.[/mm]
Das ist doch Quatsch !
>
> Für h = -1:
>
> [mm]\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-(-1) \right|=1+\bruch{1}{n}+1=2+\bruch{1}{n}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]2+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} < \varepsilon - 2 \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 2}[/mm]
>
> Damit für jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] ein
> [mm]n_{0}=\bruch{1}{\varepsilon - 2}[/mm] sodass für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> gilt [mm]\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-(-1) \right|<\varepsilon.[/mm]
Wie oben: Quatsch !
>
> Teilaufgabe b):
>
> [mm]\left| \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-0 \right|=1+\bruch{1}{n}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]1+\bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \bruch{1}{n} < \varepsilon - 1 \gdw n>\bruch{1}{\varepsilon - 1}[/mm]
>
> Begründung:
> Da [mm]-1<0<1[/mm] und [mm]\bruch{1}{\varepsilon - 1}<\bruch{1}{\varepsilon - 2}[/mm]
> kann es kein h=0 geben.
>
>
> Vielen Dank für die Mühe!
Vielleicht wird es für Dich verständlicher, wenn Du Dir vor Augen hältst:
(*) h ist HP von [mm] (a_n) \gdw [/mm] für jedes [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gilt: [mm] $|a_n-h| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für unendlich viele Indices n.
Ist nun [mm] a_n= \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right), [/mm] so unterscheide mal die Fälle n gerade imd n ungerade, dann hast Du a) sofort erledigt.
b) kannst Du mit (*) ebenfalls leicht sehen.
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
[mm]\left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN}[/mm]
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
Hallo Fred,
> Vielleicht wird es für Dich verständlicher, wenn Du Dir
> vor Augen hältst:
>
> (*) h ist HP von [mm](a_n) \gdw[/mm] für jedes [mm]\varepsilon>[/mm] 0
> gilt: [mm]$|a_n-h|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für unendlich viele Indices
> n.
>
> Ist nun [mm]a_n= \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right),[/mm] so
> unterscheide mal die Fälle n gerade imd n ungerade, dann
> hast Du a) sofort erledigt.
>
> b) kannst Du mit (*) ebenfalls leicht sehen.
wahrscheinlich ist der Weg viel zu umständlich oder sogar falsch, aber anhand der Definition sehe ich es nicht:
Teilaufgabe a):
Für h = 1:
n gerade:
[mm] $\left|\underbrace {\underbrace {(-1)^{n}-\bruch{1}{n}}_{>0}-1}_{<0}\right|=-1+\bruch{1}{n}+1=\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
n ungerade:
[mm] $\left|\underbrace {\underbrace {(-1)^{n}-\bruch{1}{n}}_{<0}-1}_{<0}\right|=1+\bruch{1}{n}+1=2+\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
Für h = -1:
n gerade:
[mm] $\left|\underbrace {\underbrace {(-1)^{n}-\bruch{1}{n}}_{>0}+1}_{>0}\right|=1-\bruch{1}{n}+1=2-\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
n ungerade:
[mm] $\left|\underbrace {\underbrace {(-1)^{n}-\bruch{1}{n}}_{<0}+1}_{<0}\right|=1+\bruch{1}{n}-1=\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
Teilaufgabe b):
Mache ich besser erst, wenn ich weiß, ob die a) so richtig ist...
Danke Dir für Deine Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
[mm] $a_{2n}= 1-\bruch{1}{2n}$
[/mm]
und [mm] a_{2n} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty. [/mm] Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so gilt: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_{2n}-1|< \varepsilon$ [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m
Somit: [mm] $|a_{n}-1|< \varepsilon$ [/mm] für unendlich viele Incices n. Damit ist 1 ein HP von [mm] (a_n)
[/mm]
Zeige Du jetzt mal, dass -1 ein HP von [mm] (a_n) [/mm] ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
$ [mm] \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN} [/mm] $
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
> Es ist doch
>
> [mm]a_{2n}= 1-\bruch{1}{2n}[/mm]
>
>
> und [mm]a_{2n} \to[/mm] 1 für n [mm]\to \infty.[/mm] Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0, so gilt: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]|a_{2n}-1|< \varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] m
>
> Somit: [mm]|a_{n}-1|< \varepsilon[/mm] für unendlich viele
> Incices n. Damit ist 1 ein HP von [mm](a_n)[/mm]
Dazu habe ich zwei kleine Fragen, Fred:
- warum muss das m nicht bestimmt werden?
- ist das bei Aufgaben dieser Art die generelle Vorgehensweise?
> Zeige Du jetzt mal, dass -1 ein HP von [mm](a_n)[/mm] ist.
[mm] $a_{2n-1}=-1-\bruch{1}{2n-1}$ [/mm] und [mm] $a_{2n-1} \to [/mm] -1$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Ist nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0,$ so gilt: es gibt ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit:
$ [mm] |a_{2n-1}+1|< \varepsilon [/mm] $ für alle $n [mm] \ge [/mm] m$
Somit: $ [mm] |a_{2n-1}+1|< \varepsilon [/mm] $ für unendlich viele Indizes n. Damit ist -1 ein HP von [mm] $(a_{n}).$
[/mm]
Teilaufgabe b):
Ich versuche gerade, obiges Schema auf diese Teilaufgabe anzuwenden, habe da aber noch so meine Schwierigkeiten...
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Do 16.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred (oder jeder andere Interessierte),
ich habe mir Deinen Beweis für HP +1 in Ruhe angesehen und ich habe leider noch immer Schwierigkeiten.
Das 2n im Index von [mm] $a_{2n}= 1-\bruch{1}{2n}$ [/mm] meint doch, dass immer eine gerade natürliche Zahl entsteht.
Warum betrachtet man hier dann nicht zusätzlich auch den Fall für n ungerade, also 2n-1 ?
Ich bin für jede Erklärung wie immer sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred (oder jeder andere Interessierte),
>
> ich habe mir Deinen Beweis für HP +1 in Ruhe angesehen und
> ich habe leider noch immer Schwierigkeiten.
>
> Das 2n im Index von [mm]a_{2n}= 1-\bruch{1}{2n}[/mm] meint doch,
> dass immer eine gerade natürliche Zahl entsteht.
> Warum betrachtet man hier dann nicht zusätzlich auch den
> Fall für n ungerade, also 2n-1 ?
Wozu ? Mit [mm] a_{2n} [/mm] kriegst Du raus, dass 1 HP ist
Mit [mm] a_{2n-1} [/mm] kriegst Du raus, dass -1 HP ist
FRED
>
> Ich bin für jede Erklärung wie immer sehr dankbar.
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Do 16.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Thanks, Fred!
Zu meinen Gedanken bei der b):
Da man in der a) die beiden einzigen Möglichkeiten n gerade (HP +1) und n ungerade (HP -1) verwendet hat, kann es keinen HP 0 geben.
Genügt das als Antwort?
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hallo,
falls meine Erklärung für die Teilaufgabe b) in der letzten Mitteilung richtig ist, kann der Thread bitte als "beantwortet" markiert werden.
Falls meine Erklärung falsch ist, muss ich gestehen, dass ich keine Alternative parat habe.
Thanks!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast in a) nur bewiesen, dass 1 und -1 HP sind.
du hast nicht nachgewiesen, dass 0 keiner ist.
theoretisch gäbe es ja noch andere teilfolgen [mm] a_n [/mm] die nen anderen HP haben könnten- auch wenn das hier nicht der Fall ist, hast du nur gezeigt, dass die Teilfolge [mm] a_{2n} [/mm] zu dem HP 1 und die [mm] a_{2n+1} [/mm] zu HP -1 führt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
$ [mm] \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN} [/mm] $
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
Hallo leduart,
ich greife an dieser Stelle nochmal den Hinweis von Fred auf:
(*) h ist HP von [mm] $(a_n) \gdw$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon>$ [/mm] 0 gilt: [mm] $|a_n-h| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für unendlich viele Indices n.
Hier bin ich mir leider unsicher, da ich kein Ziel vor Augen habe:
Muss ich eine Teilfolge finden und weitere Betrachtungen anstellen, oder muss ich die Folge [mm] $\left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)$ [/mm] so einsetzen [mm] $|\left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)-h| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] und dann auflösen?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du musst zeigen, dass 0 KEIN HP ist also dass es nur endlich viele Punkte in der umgebung von 0 gibt. dazu kannst du ne beliebige umgebung von 0 wählen etwa |-1/,1/2]oder -0.01,0.01 und zeigen dassx nur endlich viele oder keine Punkte drin liegen. also ganz einfach, aber man muss es halt machen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
$ [mm] \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN} [/mm] $
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
Hallo leduart,
> nein du musst zeigen, dass 0 KEIN HP ist also dass es nur
> endlich viele Punkte in der umgebung von 0 gibt. dazu
> kannst du ne beliebige umgebung von 0 wählen etwa
> |-1/,1/2]oder -0.01,0.01 und zeigen dassx nur endlich viele
> oder keine Punkte drin liegen. also ganz einfach, aber man
> muss es halt machen.
meinst Du mit Umgebung die Epsilon-Umgebung?
Ich probiere es mal so, wie ich es mir mit Deinem Hinweis vorstelle und verwende $[-0.01,0.01]$:
[mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$
[/mm]
$(0-0.01,0+0.01)=(-0.01,+0.01)$
Falls ich es richtig gemacht habe (was ich bezweifle), wie zeige ich dann dass nur endlich viele oder keine Punkte darin liegen?
Danke
&
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. für bel. [mm] \epsilon [/mm] Umgebungen muss gelten es sind unendlich viele [mm] a_n [/mm] drin.
Wenn du für ein bestimmtes /epsilon nur endlich viele findest ist es kein Hp.
Schreib mal die ersten paar [mm] a_n [/mm] hin. dann siehst du doch wieviele in (-0.5,0.5) liegen und kannst hoffentlich begründen, dass alle anderen ausserhalb sind, ebenso mit (-0.1,+0.1)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Folge betrachtet werden:
$ [mm] \left( (-1)^{n}-\bruch{1}{n} \right)_{n \in \IN} [/mm] $
a) Zeigen Sie, dass +1 und −1 Häufungspunkte der Folge sind.
b) Zeigen Sie, dass 0 kein Häufungspunkt der Folge ist. |
Hallo leduart,
> Schreib mal die ersten paar [mm]a_n[/mm] hin. dann siehst du doch
> wieviele in (-0.5,0.5) liegen und kannst hoffentlich
> begründen, dass alle anderen ausserhalb sind, ebenso mit
> (-0.1,+0.1)
[mm] $a_{1}=-2$
[/mm]
[mm] $a_{2}=0.5$
[/mm]
[mm] $a_{3}=-1\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $a_{4}=0.75$
[/mm]
[mm] $a_{5}=-1.2$
[/mm]
[mm] $a_{6}=\bruch{5}{6}$
[/mm]
[mm] $a_{7}=-1\bruch{1}{7}$
[/mm]
[mm] $a_{8}=0.875$
[/mm]
[mm] $a_{9}=-1\bruch{1}{9}$
[/mm]
[mm] $a_{10}=0.9$
[/mm]
ich sehe, dass für steigendes gerade n sich die Werte immer mehr dem HP +1 nähern und für steigendes ungerade n sich die Werte immer mehr dem HP -1 nähern.
Kein Wert befindet sich aber in den [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von 0 (-0.5,0.5) bzw. (-0.1,0.1), also kann 0 kein HP sein.
Genügt das als Antwort/kann man das irgendwie mathematisch darstellen?
Danke Dir für Deine Geduld und Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Sa 18.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] a_{2n}= 1-\bruch{1}{2n}\ge1/2 [/mm] für alle n und
[mm] a_{2n-1}= -1-\bruch{1}{2n-1} [/mm] < -1 [mm] \le [/mm] -1/2 für alle n
Somit: [mm] |a_n| \ge [/mm] 1/2 für alle n
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 18.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank Fred für Deine Hilfe, trotz Wochenende.
In diesem Sinne: Ein schönes Wochenende!
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
