Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:19 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Steffi1988 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN}:
[/mm]
(i) [mm] a_{n} [/mm] = ( [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] i\bruch{\wurzel{3}}{2})^n
[/mm]
(ii) [mm] a_{n} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n})^n
[/mm]
bitte beachten Sie: [mm] a_{n} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] |
Hallo Leute,
habe die Aufgaben oben heute als Übung bekommen....
Bei der Deffinition vom Häufungspunkt bin ich auch nicht so sicher :(
- Daher finde ich nichtmal einen Ansatz um die Aufgaben zu bearbeiten.
Hat jemand von Euch einen Hinweis oder Tip für mich?
Vielen lieben Dank,
Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Betrachte hier doch einmal die beiden Teilfolgen für gerade bzw. ungerade Folgenglieder und bestimme die beiden Grenzwerte:
[mm] $$a_{n} [/mm] \ = [mm] \left[1+\bruch{(-1)^n}{n}\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \begin{cases} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar und vielen lieben Dank für Deine Antwort !
Nun, ich probier es mal.
für gerade n haben wir: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n} [/mm] = e
für ungerade n haben wir: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} [/mm] = e
und nun ? :)
Danke !
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Ich glaube irgend etwas falsch zu machen...
Die (ii) verstehe ich nun.. vielen Dank :)
zur (i) jedoch...
mein i kann ich ja mit z = .... nicht richtig bestimmen.
Ich bekomme da raus: -0.5 + 0,866 i.
Für [mm] i^2 [/mm] kriege ich -1,366 raus.
Für [mm] i^3 [/mm] -0.5 -0,866i
wo liegt mein Fehler?
und zu den Häufungspunkten..
Heißt das also , jede Teilfolge einer Folge ist ein Häufungspunkt wenn die Teilfolge konvergiert? Oder wie muss ich mir diesen HP genau vorstellen..
Danke Euch !
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffi!
> Ich glaube irgend etwas falsch zu machen...
> Die (ii) verstehe ich nun.. vielen Dank :)
>
> zur (i) jedoch...
>
> mein i kann ich ja mit z = .... nicht richtig bestimmen.
> Ich bekomme da raus: -0.5 + 0,866 i.
Lass die Wurzel ruhig mal stehen. Du bekomsmt doch:
[mm]a_2=z^2=\left(-\bruch{1}{2}+i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \bruch{1}{4} +i^2 \bruch{3}{4} -2i\bruch{\sqrt{3}}{4} = -\bruch{1}{2}-i\bruch{\sqrt{3}}{2}[/mm]
und
[mm]a_3 = z^3=z*z^2 = \left(-\bruch{1}{2}+i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right) * \left(-\bruch{1}{2}-i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right) = \bruch{1}{4} - i^2\bruch{3}{4} = 1[/mm].
Also ist [mm]a_4=z[/mm], [mm]a_5=z^2[/mm], [mm]a_6=1[/mm], usw.
> und zu den Häufungspunkten..
>
> Heißt das also , jede Teilfolge einer Folge ist ein
> Häufungspunkt wenn die Teilfolge konvergiert? Oder wie muss
> ich mir diesen HP genau vorstellen..
Wenn die Teilfolge konvergiert, dann ist dieser Grenzwert ein Häufungspunkt.
Anschaulich: In der Nähe eines Häufungspunktes liegen unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel: die Folge: [mm]a_n = (-1)^n + \bruch{1}{n}[/mm]. Der erste Term [mm](-1)^n[/mm] sprint zwischen +1 und -1 hin und her, der zweite geht gegen 0. Die folge hüpft also abwechselnd in die Nähe von -1 und +1, und zwar mit jedem Sprung näher dran. Beide, -1 und +1, sind Häufungspunkte der Folge. Nimmst du nur die Glieder mit geradem Index, dann ist
[mm]a_{2n}=1+\bruch{1}{2n}[/mm],
diese Teilfolge konvergiert gegen +1.
Ebenso konvergiert die Folge [mm]a_{2n-1} = -1 *\bruch{1}{2n-1}[/mm] gegen -1.
Viele Grüße
Rainer
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Ich glaube es immer noch nicht zu 100% verstanden zu haben :(
Okey, ich kann nachvollziehen wie Du auf [mm] a_{n} [/mm] mit n = 2 und 3 kommst...
Aber woher weiß ich denn immer genau was ich machen muss?
Bei deinem anderen Beispiel habe ich es verstanden, bzw. bei meiner zweiten Aufgabe. Da haben wir beide Teile separat betrachtet und sahen wo gegen diese konvergieren. Das waren dann unsere Häufungspunkte.
Kurz gesagt... ich verstehe nicht, warum wir z.B. erst bei n = 2 anfangen und nicht 1...
Ich weiß,
i = i
[mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] i^3 [/mm] = -i
[mm] i^4 [/mm] = 1
[mm] i^5 [/mm] = i (= i von oben....)
D.h. ja, unser i wiederholt sich immer.
Fragen über Fragen.
Lg, Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffi!
> Ich glaube es immer noch nicht zu 100% verstanden zu haben
> :(
>
> Okey, ich kann nachvollziehen wie Du auf [mm]a_{n}[/mm] mit n = 2
> und 3 kommst...
> Aber woher weiß ich denn immer genau was ich machen muss?
> Bei deinem anderen Beispiel habe ich es verstanden, bzw.
> bei meiner zweiten Aufgabe. Da haben wir beide Teile
> separat betrachtet und sahen wo gegen diese konvergieren.
> Das waren dann unsere Häufungspunkte.
>
> Kurz gesagt... ich verstehe nicht, warum wir z.B. erst bei
> n = 2 anfangen und nicht 1...
Wir fangen bei 1 an und rechnen die ersten paar Folgenglieder aus, um uns erst einmal einen Überblick zu verschaffen, wie die Folge aussieht.
Aber: wie [mm]a_1[/mm] aussieht, wissen wir doch schon, da brauchen wir nichts zu rechnen:
[mm]a_1= \left(-\bruch{1}{2} +i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right)^1 = -\bruch{1}{2} +i\bruch{\sqrt{3}}{2}[/mm].
Deswegen ist Nr. 2 das erste Glied, das ich ausgerechnet habe. Dann habe ich die nächsten Glieder ausgerechnet und stelle fest, dass es überhaupt nur die drei Werte gibt.
> Ich weiß,
> i = i
> [mm]i^2[/mm] = -1
> [mm]i^3[/mm] = -i
> [mm]i^4[/mm] = 1
> [mm]i^5[/mm] = i (= i von oben....)
> D.h. ja, unser i wiederholt sich immer.
Das ist schon richtig, aber das ist nicht die Folge, um die es geht. Die Folge aus 1) heisst:
[mm]a_n= \left(-\bruch{1}{2} +i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right)^n[/mm].
Nun haben wir nachgerechnet, dass
[mm]\left(-\bruch{1}{2} +i\bruch{\sqrt{3}}{2}\right)^3=1[/mm].
Also wiederholt sich die Folge auch imer wieder; wenn ich die Klammer wieder mit z abkürze, ist die Folge
[mm]z[/mm], [mm]z^2[/mm], [mm]1[/mm], [mm]z[/mm], [mm]z^2[/mm], [mm]1[/mm], [mm]z[/mm], [mm]z^2[/mm], ...
Die Folge hüpft also zwischen diesen drei Punkten. (Die Punkte sind übrigens gerade die drei Lösungen der Gleichung [mm]z^3=1[/mm].)
Viele Grüße
Rainer
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