Häufungspunkt einer Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 12.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Definition Häufungspunkt (aus VL)
[mm] x_0 [/mm] aus [mm] \IR [/mm] heißt Häufungspunkt einer Menge A [mm] \subset \IR, [/mm] falls
für alle [mm] \delta>0: [/mm] ein existiert x [mm] \in [/mm] A: sodass [mm] 0<|x-x_0|<\delta [/mm] |
Hallo,
ich wollt fragen, ob mir jmd. erklären kann was ein Häufungspunkt einer Funktion ist (anhand von Beispielen
Als Beispiele hatten wir:
1. 0 HP von [mm] \IR/{0} [/mm]
heisst das dann auch das zum Bsp.: 3 HP von [mm] \IR/{3} [/mm] gilt, nur weil die 3 aus der Menge rausgenommen wurde?
2.jedes [mm] x_0 \in \IR [/mm] ist HP von [mm] \IQ (\IQ [/mm] dicht in [mm] \IR)
[/mm]
Was ist damit genau gemeint? Ich verstehe darunter, dass man irgendein Element aus [mm] \IR [/mm] nimmt, weil zum Bsp.: [mm] 2\in \IR \not= \IQ. [/mm] Aber warum ist das so?
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Hallo Lila-1,
ich wette, dass das nicht alles ist, was Ihr hattet.
> Definition Häufungspunkt (aus VL)
> [mm]x_0[/mm] aus [mm]\IR[/mm] heißt Häufungspunkt einer Menge A [mm]\subset \IR,[/mm]
> falls
> für alle [mm]\delta>0:[/mm] ein existiert x [mm]\in[/mm] A: sodass
> [mm]0<|x-x_0|<\delta[/mm]
Das z.B. ist kaum zu glauben. Hast Du das richtig abgeschrieben? Vergleiche mal mit Kommilitonen.
> Hallo,
> ich wollt fragen, ob mir jmd. erklären kann was ein
> Häufungspunkt einer Funktion ist (anhand von Beispielen
>
> Als Beispiele hatten wir:
> 1. 0 HP von [mm]\IR/{0}[/mm]
Auch hier fehlt etwas. Das gilt nur für bestimmte Funktionen, z.B. für [mm] f(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
> heisst das dann auch das zum Bsp.: 3 HP von [mm]\IR/{3}[/mm] gilt,
> nur weil die 3 aus der Menge rausgenommen wurde?
Nein, es sei denn, die Funktion heißt z.B. [mm] f(x)=\bruch{1}{x-3}
[/mm]
Strikt genommen genügen übrigens die beiden Funktionen, die ich nenne, nicht einmal den Kriterien. Schließlich sind die Intervalle (0;1) und [mm] (1;\infty) [/mm] gleichmächtig!
Für die Definition von Häufungspunkten von Funktionen genügen sie aber.
> 2.jedes [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist HP von [mm]\IQ (\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR)[/mm]
> Was ist damit genau gemeint? Ich verstehe darunter, dass
> man irgendein Element aus [mm]\IR[/mm] nimmt, weil zum Bsp.: [mm]2\in \IR \not= \IQ.[/mm]
Schlechtes Beispiel, da [mm] 2\in\IR [/mm] und [mm] 2\in\IQ. [/mm] Nimm lieber [mm] \wurzel{2}. [/mm] Wie Du sicher weißt, ist das irrational.
> Aber warum ist das so?
Nimm eine Umgebung von [mm] \wurzel{2}, [/mm] ziemlich klein, also z.B. [mm] \wurzel{2}\pm 10^{-42}. [/mm] Wieviele rationale Zahlen liegen in dieser Umgebung? Und wieviele sind es noch, wenn die Umgebung schrumpft, z.B. auf [mm] $\wurzel{2}\pm 10^{-2973}$?
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Definition Häufungspunkt (aus VL)
> [mm]x_0[/mm] aus [mm]\IR[/mm] heißt Häufungspunkt einer Menge A [mm]\subset \IR,[/mm]
> falls
> für alle [mm]\delta>0:[/mm] ein existiert x [mm]\in[/mm] A: sodass
> [mm]0<|x-x_0|<\delta[/mm]
Vorweg: mit Reverends Antwort bin ich nicht einverstanden.
Obige Def. ist völlig O.K.
> Hallo,
> ich wollt fragen, ob mir jmd. erklären kann was ein
> Häufungspunkt einer Funktion ist (anhand von Beispielen
Ich bin nun wahrlich noch nicht lange in der Mathematik zugange, aber "Häufungspunkt einer Funktion " ist mir noch nicht begegnet.
Wo hast Du das her ?
>
> Als Beispiele hatten wir:
> 1. 0 HP von [mm]\IR/{0}[/mm]
> heisst das dann auch das zum Bsp.: 3 HP von [mm]\IR/{3}[/mm] gilt,
Ja.
> nur weil die 3 aus der Menge rausgenommen wurde?
Das ist nicht der Grund, sondern das folgt sofort aus obiger Definition !
> 2.jedes [mm]x_0 \in \IR[/mm] ist HP von [mm]\IQ (\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR)[/mm]
> Was ist damit genau gemeint?
Jedes x [mm] \in \IR [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] \IQ. [/mm] Dazu sagt man auch:
[mm] "\IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR".
[/mm]
> Ich verstehe darunter, dass
> man irgendein Element aus [mm]\IR[/mm] nimmt, weil zum Bsp.: [mm]2\in \IR \not= \IQ.[/mm]
Unfug !
> Aber warum ist das so?
Ihr hattet sicher: ist I ein (nichtentartetes) Intervall in [mm] \IR, [/mm] so enthält I unendlich viele rationale Zahlen.
Ist dann [mm] x_0 \in \IR [/mm] und [mm] \delta [/mm] >0, so enthält das Interval [mm] (x_0- \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] unendlich viele rationale Zahlen. Nach obiger Def. bedeutet das: [mm] x_0 [/mm] ist HP von [mm] \IQ.
[/mm]
FRED
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