Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 So 08.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.Eine Zahl a [mm] \in \IR [/mm] heißt Häufungspunkt, wenn für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm] x_{n} [/mm] in [mm] K(a,\varepsilon) [/mm] liegen.
Man zeige: a [mm] \in \IR [/mm] liegt genau dann in der Limesmenge [mm] E((x_{n})) [/mm] ,wenn a ein Häufungspunkt ist. |
Guten Tag^^,
Ich versuche grad obige Äquivalenz zu zeigen, komme aber an einer Stelle nicht mehr weiter.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen und sei a [mm] \in \IR \in E((x_{n})). [/mm] Daraus folgt, dass eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_{k}}) [/mm] existiert mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann folgt, dass [mm] K(a,\varepsilon) \cap (x_{n}_{k}) \not=\emptyset. [/mm] Daraus folgt,dass sich in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a schonmal Folgenglieder [mm] x_{n} [/mm] befinden. Ich muss jetzt noch zeigen, dass es unendlich viele sind. Da weiß ich aber leider nicht, wie ich weitermachen soll.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Angenommen a ist ein Häufungspunkt. Dann liegen für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 unendlich viele Folgenglieder [mm] x_{n} [/mm] in [mm] K(a,\varepsilon).
[/mm]
Jetzt wissen wir schonmal, dass die Folge unendlich und beschränkt ist.
Nach dem Satz von Bolzano existiert unendliche konvergente Teilfolge [mm] x_{n}_{k}. [/mm]
Zu zeigen ist also, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a.
[/mm]
Da weiß ich aber leider auch nicht,wie ich weitermachen kann.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 So 08.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a. [/mm] $
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 08.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a.[/mm]
Ach stimmt,das hab ich gar nicht gemacht.
Zur Hinrichtung: Wenn nun eine konvergente Teilfolge existiert mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a, [/mm] dann bedeutet das, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert,sodass [mm] d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon. [/mm] Und da es unendlich viele solche [mm] \varepsilon [/mm] gibt, liegen auch unendlich viele Folgenglieder [mm] x_{n}_{k} [/mm] in [mm] K(a,\varepsilon). [/mm] Somit ist a ein Häufungspunkt.
Ist das so in Ordnung?
Zur Rückrichtung: Ich weiß jetzt,dass für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm] x_{n} [/mm] in [mm] K(a,\varepsilon) [/mm] liegen und dass eine konvergente Teilfolge existiert. Wenn jetzt aber unendlich viele Folgenglieder in [mm] K(a,\varepsilon) [/mm] liegen, dann kann ich mir welche davon nehmen, für die [mm] \forall \varepsilon>0 [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert,sodass [mm] d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon [/mm] ist für alle n [mm] \ge [/mm] N. Also ist der Grenzwert der Teilfolge =a.
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 08.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart,
>
> > schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a.[/mm]
>
> Ach stimmt,das hab ich gar nicht gemacht.
>
> Zur Hinrichtung: Wenn nun eine konvergente Teilfolge
> existiert mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a,[/mm] dann
> bedeutet das, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein N [mm]\in \IN[/mm]
> existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.[/mm] Und da es
> unendlich viele solche [mm]\varepsilon[/mm] gibt, liegen auch
> unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}_{k}[/mm] in
> [mm]K(a,\varepsilon).[/mm] Somit ist a ein Häufungspunkt.
so falsch, für alle [mm] n_k>N [/mm] und das sind unendlich viele ist [mm] $d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.$
[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung?
>
> Zur Rückrichtung: Ich weiß jetzt,dass für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}[/mm] in
> [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen
siehe oben!
>und dass eine konvergente Teilfolge
> existiert. Wenn jetzt aber unendlich viele Folgenglieder in
> [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen, dann kann ich mir welche davon
> nehmen, für die [mm]\forall \varepsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN[/mm]
> existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon[/mm] ist für alle n
> [mm]\ge[/mm] N. Also ist der Grenzwert der Teilfolge =a.
>
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> > Zur Hinrichtung: Wenn nun eine konvergente Teilfolge
> > existiert mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a,[/mm] dann
> > bedeutet das, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.[/mm] Und da es
> > unendlich viele solche [mm]\varepsilon[/mm] gibt, liegen auch
> > unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}_{k}[/mm] in
> > [mm]K(a,\varepsilon).[/mm] Somit ist a ein Häufungspunkt.
> so falsch, für alle [mm]n_k>N[/mm] und das sind unendlich viele
> ist [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.[/mm]
Ok,es ist also [mm] d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n_{k}>N.Und [/mm] da es unendlich viele solche [mm] n_{k} [/mm] gibt, liegen auch unendlich viele Folgenglieder in [mm] K(a,\varepsilon)
[/mm]
> >
> > Ist das so in Ordnung?
> >
> > Zur Rückrichtung: Ich weiß jetzt,dass für alle
> > [mm]\varepsilon>0[/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}[/mm] in
> > [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen
> siehe oben!
Was stimmt denn hier nich? Das ist nur das, was in der Definition des Häufungspunktes steht?.
> >und dass eine konvergente Teilfolge
> > existiert. Wenn jetzt aber unendlich viele Folgenglieder in
> > [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen, dann kann ich mir welche davon
> > nehmen, für die [mm]\forall \varepsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon[/mm] ist für alle n
> > [mm]\ge[/mm] N. Also ist der Grenzwert der Teilfolge =a.
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
>
> > > Zur Hinrichtung: Wenn nun eine konvergente Teilfolge
> > > existiert mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n}_{k}=a,[/mm] dann
> > > bedeutet das, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > > existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.[/mm] Und da es
> > > unendlich viele solche [mm]\varepsilon[/mm] gibt, liegen auch
> > > unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}_{k}[/mm] in
> > > [mm]K(a,\varepsilon).[/mm] Somit ist a ein Häufungspunkt.
> > so falsch, für alle [mm]n_k>N[/mm] und das sind unendlich viele
> > ist [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon.[/mm]
>
> Ok,es ist also [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]n_{k}>N.Und[/mm] da es unendlich viele solche [mm]n_{k}[/mm] gibt, liegen
> auch unendlich viele Folgenglieder in [mm]K(a,\varepsilon)[/mm]
> > >
> > > Ist das so in Ordnung?
> > >
> > > Zur Rückrichtung: Ich weiß jetzt,dass für alle
> > > [mm]\varepsilon>0[/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}[/mm] in
> > > [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen
> > siehe oben!
>
> Was stimmt denn hier nich? Das ist nur das, was in der
> Definition des Häufungspunktes steht?.
>
> > >und dass eine konvergente Teilfolge
> > > existiert.
Wieso das ?
> Wenn jetzt aber unendlich viele Folgenglieder in
> > > [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen, dann kann ich mir welche davon
> > > nehmen, für die [mm]\forall \varepsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN[/mm]
> > > existiert,sodass [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon[/mm] ist für alle n
> > > [mm]\ge[/mm] N. Also ist der Grenzwert der Teilfolge =a.
Wähle ein [mm] x_{n_1} [/mm] mit [mm] $x_{n_1} \in [/mm] K(a,1)$
Dann wähle ein [mm] x_{n_ 2} [/mm] mit [mm] n_2>n_1 [/mm] und $ [mm] x_{n_2} \in [/mm] K(a,1/2)$
Dann wähle ein [mm] x_{n_ 3} [/mm] mit [mm] n_3>n_2 [/mm] und $ [mm] x_{n_3} \in [/mm] K(a,1/3)$
Etc ...
So erhältst Du eine Teilfolge ( [mm] x_{n_ k}) [/mm] mit Limes a
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
Hallo fred97,
> > Ok,es ist also [mm]d(x_{n}_{k},a)<\varepsilon[/mm] für alle
> > [mm]n_{k}>N.Und[/mm] da es unendlich viele solche [mm]n_{k}[/mm] gibt, liegen
> > auch unendlich viele Folgenglieder in [mm]K(a,\varepsilon)[/mm]
> > > >
> > > > Ist das so in Ordnung?
> > > >
> > > > Zur Rückrichtung: Ich weiß jetzt,dass für alle
> > > > [mm]\varepsilon>0[/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm]x_{n}[/mm] in
> > > > [mm]K(a,\varepsilon)[/mm] liegen
> > > siehe oben!
> >
> > Was stimmt denn hier nich? Das ist nur das, was in der
> > Definition des Häufungspunktes steht?.
> >
> > > >und dass eine konvergente Teilfolge
> > > > existiert.
>
> Wieso das ?
Wieso was? Ich wollte doch nur wissen, ob das jetzt so stimmt,was ich geschrieben hatte,bin grad verwirrt.
>
>
> Wähle ein [mm]x_{n_1}[/mm] mit [mm]x_{n_1} \in K(a,1)[/mm]
>
> Dann wähle ein [mm]x_{n_ 2}[/mm] mit [mm]n_2>n_1[/mm] und [mm]x_{n_2} \in K(a,1/2)[/mm]
>
> Dann wähle ein [mm]x_{n_ 3}[/mm] mit [mm]n_3>n_2[/mm] und [mm]x_{n_3} \in K(a,1/3)[/mm]
>
> Etc ...
>
> So erhältst Du eine Teilfolge ( [mm]x_{n_ k})[/mm] mit Limes a
Aahh.Ok. Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
ich wollte dich fragen, ob du die aufgabe mit den grenzwerten (Aufgabe 17) hast? also wenn du es hast wäre ich echt froh, wenn du mir einen Tipp geben kannst, denn damit komme ich so garnicht zurecht.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo looney_tune,
> ich wollte dich fragen, ob du die aufgabe mit den
> grenzwerten (Aufgabe 17) hast? also wenn du es hast wäre
> ich echt froh, wenn du mir einen Tipp geben kannst, denn
> damit komme ich so garnicht zurecht.
>
> Vielen Dank
Nein, die habe ich leider auch nicht.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 14.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 12.05.2011 | | Autor: | void. |
Hallo,
habe die Rückrichtung anders gelöst und wollte Fragen ob die Schritte richtig sind.
"<="
a ist ein Häufungspunkt
=> [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 liegen unendlich viele Folgenglieder der Folge [mm] {x_n_k} [/mm] in [mm] K(a,\varepsilon)
[/mm]
=> [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x_n_k \in [/mm] K(a, [mm] \varepsilon) \forall [/mm] k>N
=> [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x_n_k \in d(a,x_n_k)<\varepsilon \forall [/mm] k>N
=> a liegt in der Limesmenge
geht das so auch oder ist ein bestimmter Schritt nicht möglich?
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> habe die Rückrichtung anders gelöst und wollte Fragen ob
> die Schritte richtig sind.
>
> "<="
> a ist ein Häufungspunkt
>
> => [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 liegen unendlich viele
> Folgenglieder der Folge [mm]{x_n_k}[/mm] in [mm]K(a,\varepsilon)[/mm]
Von welcher Folge sprichst Du ? Wo kommt die her ?
>
> => [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]x_n_k \in[/mm]
> K(a, [mm]\varepsilon) \forall[/mm] k>N
>
> => [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]x_n_k \in d(a,x_n_k)<\varepsilon \forall[/mm]
> k>N
>
> => a liegt in der Limesmenge
>
> geht das so auch oder ist ein bestimmter Schritt nicht
> möglich?
Nein, so geht das nicht ! Siehe oben.
FRED
>
> gruß
|
|
|
|
