Häufungspkt. L-Nullmenge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede beschränkt Menge des [mm] \IR^n [/mm] mit endlich vielen Häufungspunkten eine Lebesguesche Nullmenge ist. |
Hallo,
ich habe mir zu obiger Aufgabe mir Gedanken gemacht und folgendes fabriziert:
Seien [mm] $h_1,\ h_2,\ h_3,\ldots$ [/mm] Häufungspunkte. Sei weiter [mm] H_i=\{h_i\} [/mm] für [mm] i=1,2,3,\ldots
[/mm]
Es ist [mm] H_i [/mm] das Intervall [mm] [h_i,h_i]. [/mm] Somit ist das Lebesgue-Maß [mm] \mu(H_i)=h_i-h_i=0. [/mm] Also ist [mm] H_i [/mm] eine L-Nullmenge.
Nun folgt aus der [mm] $\sigma$-Subadditivität:
[/mm]
[mm] 0\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}H_i\right)\le\sum_{i=1}^{\infty}\mu(H_i)=0
[/mm]
Also ist [mm] \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}H_i [/mm] eine L-Nullmenge. [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Es wäre super, wenn jemand von euch dazu ein Statement abgeben kann. Es würde mich freuen.
Liebe Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 02.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass jede beschränkt Menge des [mm]\IR^n[/mm] mit
> endlich vielen Häufungspunkten eine Lebesguesche Nullmenge
> ist.
>
> Hallo,
>
> ich habe mir zu obiger Aufgabe mir Gedanken gemacht und
> folgendes fabriziert:
>
>
> Seien [mm]h_1,\ h_2,\ h_3,\ldots[/mm] Häufungspunkte.
Von was ?
Von der beschränkten Menge B mit endl. vielen Häufungspunkten ???
> Sei weiter
> [mm]H_i=\{h_i\}[/mm] für [mm]i=1,2,3,\ldots[/mm]
>
> Es ist [mm]H_i[/mm] das Intervall [mm][h_i,h_i].[/mm] Somit ist das
> Lebesgue-Maß [mm]\mu(H_i)=h_i-h_i=0.[/mm] Also ist [mm]H_i[/mm] eine
> L-Nullmenge.
Das eine einelementige Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] eine Nullmenge ist, ist kein großes Geheimnis....
>
> Nun folgt aus der [mm]\sigma[/mm]-Subadditivität:
>
> [mm]0\le\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}H_i\right)\le\sum_{i=1}^{\infty}\mu(H_i)=0[/mm]
>
> Also ist [mm]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}H_i[/mm] eine L-Nullmenge.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Hä ? Wenn Du meinst, dass die Ausgangsmenge = [mm]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}H_i[/mm] ist, so stimmt das nicht.
Sei B eine beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] mit nur endlich vielen Häufungspunkten,
Zeigen sollst Du: B ist eine L-Nullmenge.
FRED
>
>
> Es wäre super, wenn jemand von euch dazu ein Statement
> abgeben kann. Es würde mich freuen.
>
> Liebe Grüße!
|
|
|
|
