Häufungspkt. <-> kon.Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:56 Di 18.11.2008 | | Autor: | PStefan |
| Aufgabe | Zu beweisen:
Vor.: Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] , [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR^{m}.
[/mm]
Beh.: Dann gilt: a ist Häufungspunkt von [mm] (a_{n}) \gdw \exists(a_{n_{k}}) [/mm] Teilfolge von [mm] (a_{n}): a_{n_{k}} \to [/mm] a (k [mm] \to \infty) [/mm] |
Grüß euch! ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
Irgendwie komme ich bei diesem Beweis nicht wirklich weit ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") ....
Zunächst Def. von Häufungspunkt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall n_{1} [/mm] Element [mm] \IN [/mm]
[mm] \exists [/mm] n Element [mm] \IN, [/mm] n [mm] \ge n_{1}: |x_{n}-x|<\varepsilon
[/mm]
konvergente Teilfolge:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} [/mm] Element [mm] \IN [/mm]
[mm] \forall [/mm] n Element [mm] \IN, [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |x_{n}-x|<\varepsilon
[/mm]
Hiezu [mm] \Rightarrow [/mm] habe ich mir überlegt:
sei n1 o.B.d.A. [mm] n_{0}, [/mm] dann gibt es ein n Element [mm] \IN [/mm] mit n [mm] \ge n_{0}: |x_{n}-x|<\varepsilon
[/mm]
dieses sei Element der Teilfolge [mm] x_{k}, x_{n} [/mm] > [mm] n_{0}
[/mm]
also per Def. HP:
[mm] \exists [/mm] n Element [mm] \IN, [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |x_{n}-x|<\varepsilon, x_{n} [/mm] Element Teilfolge [mm] x_{k}, x_{n} [/mm] > [mm] n_{0}
[/mm]
sei [mm] x_{n} [/mm] das neue [mm] n_{0}
[/mm]
laut Def. HP:
[mm] \exists [/mm] m Element [mm] \IN, [/mm] m [mm] \ge x_{n}: |x_{m}-x|<\varepsilon, x_{m} [/mm] Element Teilfolge [mm] x_{k}, x_{m} [/mm] > [mm] x_{n}
[/mm]
Dies ist dann die konvergente Teilfolge [mm] x_{k}...... [/mm]
kann ich dies überhaupt so annehmen und wie würde die Richtung "Rechts nach Links" aussehen ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Liebe Grüße und DANKE
Stefan
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