Häufungsp.einer Fkt. Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 12.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | | Sei eine Menge A [mm] \subset \IR [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass [mm] x_0 \in \IR [/mm] und eine Funktion f:A [mm] \to \IR [/mm] genau dann Häufungspunt von A ist, wenn eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] A, [mm] x_n \not= x_0 [/mm] existiert, sodass [mm] x_n \to x_0 [/mm] |
Hallo,
meine Idee wäre:
Sei [mm] x_0 [/mm] := 0 und [mm] x_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
und dann den lim von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bestimmen
Oder ist das falsch, weil es nicht mehr allgemein ist?
In der VL hatten wir die Definition: für alle [mm] \delta [/mm] > 0: existiert ein x [mm] \in [/mm] A: [mm] 0<|x-x_0|<\delta
[/mm]
könnt ihr mir vllt. sagen wie man es sonst machen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei eine Menge A [mm]\subset \IR[/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> und eine Funktion f:A [mm]\to \IR[/mm]
Was soll das denn ???
> genau dann Häufungspunt von
> A ist, wenn eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] A, [mm]x_n \not= x_0[/mm]
> existiert, sodass [mm]x_n \to x_0[/mm]
> Hallo,
> meine Idee wäre:
> Sei [mm]x_0[/mm] := 0 und [mm]x_n[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> und dann den lim von [mm]\bruch{1}{n}[/mm] bestimmen
> Oder ist das falsch, weil es nicht mehr allgemein ist?
So ist es !!
> In der VL hatten wir die Definition: für alle [mm]\delta[/mm] > 0:
> existiert ein x [mm]\in[/mm] A: [mm]0<|x-x_0|<\delta[/mm]
> könnt ihr mir vllt. sagen wie man es sonst machen
> könnte?
Zu zeigen ist:
[mm] x_0 [/mm] ist HP von A [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in A mit: [mm] x_n \ne x_0 [/mm] für alle n und [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Beweis:
1. Sei [mm] x_0 [/mm] HP von A. Nach Vor. ex. zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_n \in [/mm] A mit:
[mm] 0<|x_n-x_0|<1/n.
[/mm]
Und schwupp hast Du schon eine solch geforderte Folge.
2. Versuche Du Dich nun mal an [mm] "\Leftarrow".
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Für die [mm] "\Leftarrow" [/mm] habt ich mir gedacht:
weil die Folge [mm] x_n \to x_0 [/mm] konvergiert, müssen auch die Teilfolgen gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren und somit ist [mm] x_0 [/mm] der HP der Folge?
Oder muss man es mit der Stetigkeit begründen?
Gruß lila
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für die [mm]"\Leftarrow"[/mm] habt ich mir gedacht:
> weil die Folge [mm]x_n \to x_0[/mm] konvergiert, müssen auch die
> Teilfolgen gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren und somit ist [mm]x_0[/mm] der HP
> der Folge?
Unsinn ! Es geht doch nicht um Häufungspunkte einer Folge sondern um HPe der Menge A !
> Oder muss man es mit der Stetigkeit begründen?
Quatsch ! Du mußt das mit Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit , Kompaktheit, Invertierbarkeit, Freundlichkeit und Zweisamkeit begründen.
Wir haben also: eine Folge $ [mm] (x_n) [/mm] $ mit $ [mm] x_n \in [/mm] $ A, $ [mm] x_n \not= x_0 [/mm] $ und $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $
Nun sei [mm] \delta [/mm] > 0. Zeigen sollst Du: es ex. ein x [mm] \in [/mm] A mit [mm] $0<|x-x_0|< \delta.
[/mm]
Wie kommst Du nun zu einem solchen x [mm] \in [/mm] A ?
FRED
> Gruß lila
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Danke erstmal, aber das Problem ist, das wir alles was du erwähnt hast nicht behandelt haben.
Gruß lila
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal, aber das Problem ist, das wir alles was du
> erwähnt hast nicht behandelt haben.
Bin ich im falschen Film ???
Oben hast Du geschrieben:
"In der VL hatten wir die Definition: [mm] x_0 [/mm] ist HP von A, wenn für alle $ [mm] \delta [/mm] $ > 0 gilt : existiert ein x $ [mm] \in [/mm] $ A: $ [mm] 0<|x-x_0|<\delta [/mm] $"
Und zeigen sollst Du:
$ [mm] x_0 [/mm] $ ist genau dann Häufungspunkt von A ist, wenn eine Folge $ [mm] (x_n) [/mm] $ mit $ [mm] x_n \in [/mm] $ A, $ [mm] x_n \not= x_0 [/mm] $ existiert, sodass $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $.
Was also habt Ihr nicht behandelt ??
FRED
> Gruß lila
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